Главная       Научный калькулятор

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия

Последовательность (аn), у которой а1=а и при любом n
аn+1=an+d (1),
где а и d любые заданные числа, называется арифметической прогрессией. Число d называется разностью арифметической прогрессии.
Арифметическая прогрессия является менотонной последовательностью: возрастающей при d>0, убывающей при d<0, невозрастающей при d=0. Для n-го члена арифметической прогрессии справедлива формула
аn=а+d(n-1) (2)
Докажем её методом математической индукции. При n=1 эта формула верна a1=a. Предположим, что формула (2) верна при n=k+1, т.е. ak=a+d(k-1). По определению арифметической прогрессии ak+1=ak+d. Подставляя сюда выражения k-го члена, получим
ak+1=a+d(k-1)+d=a+dk,
а это есть формула (2) при n=k+1. Из принципа математической индукции следует, что формула (2) верна для любого натурального n.
Из формулы (2) следует, что если разность арифметической прогрессии отлична от нуля, то арифметическая прогрессия является неограниченной прогрессией. Чаще всего рассматривается арифметическая прогрессия, содержащая конечное число членов, которая называется конечной арифметической прогрессией.


Свойства арифметической прогрессии

.
- I. Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому его соседних членов, т.е. при k2
ak=(ak-1+ak+1)/2 (3)
- II. У конечной арифметической прогрессии а1; а2;...;аn сумма членов, равноотстоящих от её концов, равна сумме крайних членов, т.е. для k=1, 2,..., n
аk+an-k+1=a1+an (4)
- III. Сумма членов конечной арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних членов на число членов, т.е. если Sn=a1+a2+...+an, то
Sn=(a1+an) • n/2 (5)
- При k2 имеем аk=ak-1+d и аk=ak+1-d. Складывая почленно эти равенства, получим 2аk=ak-1+ak+1, откуда следует (3).
- В конечной арифметической прогрессии а1; а2;...;аn члены аk и an-k+1 равностоят от концов. По формуле (2) аk=а+d(k-1) и an-k+1=а+d(n-k). Сумма этих членов аk + an-k+1 = 2а+d(n-1) и равна сумме крайних членов а1n=2а+d(n-1).
- Если Sn=a1+a2+...+an, то Sn=an+an-1+...+a1. Складывая почленно эти неравенства и используя свойство 2, получаем
2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+...+(a1+an)=n(a1+an),
откуда следует формула (5)
Sn=(a1+an) • n/2
Если в формулу (5) подставить выражение (2) для n-го члена, то получим
Sn=(2a+d(n-1)) • n/2 (6)