Главная       Научный калькулятор

Множества


В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов. При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг от друга и от предметов, не входящих в эту совокупность. Например, можно говорить о множестве всех книг в данной библиотеке, множестве всех вершин данного многоуглоника, множестве всех точек данной прямой. Книги в данной библиотеке, вершины данного многоуглоника, точки данной прямой являются элементами соответствующих множеств.

Числовые множества
В алгебре чаще всего приходится иметь дело с множествами, элементами которых являются числа. Такие множества называются числовыми. Для некоторых часто встречающихся числовых множеств в школьном курсе математики приняты стандартные обозначение: N - множество натуральных чисел, Z - множество целых чисел, Q - множество рациональных чисел, R - множество действительных чисел. Действительные числа обозначаются точками координатной прямой. Координатная прямая - это всякая прямая, на которой выбраны направления, принимаемое за положительное, точка - начало отсчеты и единица измерения - масштабный отрезок, длина которого принимается равной единице.

Подмножество
Если любой элемент множества А принадлежит также множеству В, то множество А называют подмножеством множества В. Это записывается так: АВ или ВА. В этом случае говорят, что множество А содержится в множестве В или множество В содержит множество А. Если в множестве А найдется хотябы один элемент, не принадлежащий множеству В, то А не является подмножеством множества В: АВ. Из определения подмножества следует, что любое множество является подмножеством самого себя, т.е. справедливо утверждение АА. Полагают также, что пустое множество является подмножеством любого множества.
Пересечение множеств. Множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству А, и множеству В, называется пересечением множества А и В и обозначается АВ. Для отрезка [-1;1] и интервала ]0;3[ пересечением, т.е. множеством, состоящим из общих элементов, является промежуток ]0;1]. Если множетсва А и В не имеют общих элементов, то говорят, что эти множества не пересекаются или что их пересечение - пустое множество, и пишут АВ=. Пересечение любого множества А с пустым множетсвом есть, очевидно, пустое множество А=.

Объединение множеств
Множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих или множеству А или множеству В, называется объединением множеств А и В обозначается AUB. Объединение и пересечение множеств обладают некоторыми свойствами суммы и произведения чисел:
1. AUB=BUA,
2. AB=BA,
3. (AUB)UC=AU(BUC),
4. (AB)C=A(BC),
5. (AUB)C=(AC)U(BC)
Для конечного множества А через m(A) обозначим число его элементов. Число элементов пустого множества, очевидно, равно нулю. Для любых конечных множеств А и В справедливо равенство:
m(AUB)=m(A)+m(B)-m(AB)
Действительно, пусть множества А и В не пересекаются, т.е. m(AB)=0. Их объединение получается добавлением элементов одного множества всех элементов другого множества, поэтому:
m(AUB)=m(A)+m(B)
Если же пересечение множетв А и В не пусто, то число их общих элементов равно m(AB). Объединение этих множеств образуется добавлением к элементам множества А все тех элементов множетсва В, которые не входят в А. Число таких элементов равно m(B)-m(AB). Таким образом,
m(AUB)=m(A)+m(B)-m(AB)

Дополнение
Часто ограничиваются рассмотрением всевозможных подмножеств одного и того же множества, которое в этом случае называют основным или универсальным множеством. Обозначим основное множество буквой Е. Для любого множества А, принадлежащего основному множетву Е, справедливы равенства:
1. AUЕ=Е
2. AЕ=А.
Множество элементов основного множетсва Е, не принадлежащих множеству А, называется дополнением множества А до множества Е или просто дополнением и обозначается А. Объединение множества а и его дополнения А есть основное множество: AUА=E. Пересечение множества со своим дополнением пусто: AА=. Дополнение пустого множетсва есть основаное множество, а дополнение основного множества пусто. Для любых подмножеств А и В основного множества Е справедливы равенства:
1. AUB=AB
2. AB=AUB

Разность множеств
Разностью двух множеств А и В называют такое множество, в которое входят все элементы из множества А, не принадлежащие множеству В. Разность множеств А и В обозначают А\В. В случае, когда В есть подмножество множества А, разность А\В называют дополнением множества В в множестве А и обозначают САВ