Главная       Научный калькулятор

Теорема 7. Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.
нахождение Докажем на примере треугольной пирамиды. Будем исходить из треугольной призмы. Проведем плоскость через вершину A' верхнего основания призмы и противолежащее ребро ВС нижнего основания. Эта плоскость отсечет от призмы треугольную пирамиду A'АВС. Оставшуюся часть призмы разложим на жва тела, проведя плоскость через диагонали A'С и B'C боковых граней. Полученные два тела также являются пирамидами. Считая треугольник A'B'C' основанием одной из них, а С её вершиной, увидим, что её основание и высота такие же, как и у первой отсеченной нами пирамиды, поэтому пирамиды A'АВС и CA'B'C' равновелики. Кроме того, обе новые пирамиды CA'B'C' и A'B'ВС также равновелики - это станет ясным, если примем за их основания треугольники ВСB' и B'CC'. Пирамиды CA'B'C' и A'B'ВС имеют общую вершину A', а их основания расположены в одной плоскости и равны, следовательно, пирамиды равновелики. Итак, призма разложена на три равновеликие между собой пирамиды; объем каждой из них равен одной трети объема призмы. Так как форма основания несущественна, то, вообще, объем n-угольной пирамиды равен одной трети объема призмы с тое же высотой и тем же (или равновеликим) основанием. Вспоминая формулу, выражающую объем призмы, V=Sh, получим окончательный результат:
формула объема
Площадь боковой поверхности произвольной пирамиды равна сумме площадей её боковых граней. Специальную формулу для выражения этой площади имеет смысл дать в случае:
Теорема 8. Если все апофемы пирамиды равны, то площадь её боковой поверхности можно вычислить по формуле:
формула площади боковой поверхности
Из этой теоремы можно получить подобные:
Теорема 8.1. Если все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одинаковым углом, то площадь её боковой поверхности можно вычислить по формуле:
формула площади боковой поверхности
Теорема 8.2. Если пирамида правильная, то площадь её боковой поверхности можно вычислить по формуле:
формула площади боковой поверхности
При нахождении площади поверхности пирамиды, необладающей ни одним из перечисленных признаков, осуществляется вычисление площадей отдельных граней, а затем производится их суммирование.