Главная       Научный калькулятор
Меню


Высота правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2 см, а сторона AB равна 4 см. Чему будет равна площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки A, B1, C?



Решение:
Полученное сечение - это треугольник, т.к. призма правильная, то стороны основания а именно: АС, СВ, АВ равны. Также равны и ребра : АА1, СС1, ВВ1 равны, из треугольников АВ1В находи сторону АВ по теореме Пифагора из треугольника СВ1В находим СВ1 тоже по теореме Пифагора. Как найдём все стороны этого сечения по теореме Герона находим площадь. Вот теорема Герона S=корень квадратный из полупериметра треугольника умножить на (полупериметр минус первая сторона ) умножить на  полупериметр минус вторая сторона) и умножить на  (полупериметр минус третья сторона)

MKPM1K1P1 — правильная треугольная призма, сторона основания которой 4 см. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки Р, Е и F, где Е и F — середины ребер M1P1 и К1Р1, а боковое ребро равно 3 см.

Площадь пересечения плоскости с призмой равна площади треугольника ЕFP.
Площадь ΔЕFP = ½PH*EF

Найдем значение EF.
ΔЕР₁F подобен Δ M₁K₁P₁.
Все стороны ΔM₁K₁P₁  равны 4. При этом ЕР₁=½М₁Р₁=2 см.  
⇒ все стороны ΔЕР₁F равны 2 :    FP₁=EP₁=EF=2 см
EF=2 

Найдем значение PH. 
Из ΔЕАР выразим значение EP:
EP²=EA²+AP²
Так как боковое ребро правильной призмы равно 3, то ЕА=ММ₁=3 см
АР=МР/2 = 2, где МР=4 см - сторона основания призмы.
EP²=9+4=13 см²
Из ΔЕРН выразим РН:
РН²=ЕР²-ЕН²=13-1=12 см²
PH=2√3 см

Посчитаем площадь ΔЕРF:
S ΔEPF = ½PH*EF= ½ * 2√3 * 2= 2√3 см²

Ответ. Площадь пересечения призмы с плоскостью EFP равна 2√3 см² 

В основании прямой призмы параллелограмм со сторонами 4 дм и 5 дм и углом между ними 30°. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, если известно, что она пересекает все боковые ребра и образует с плоскостью основания угол 45°.

Основание является ортогональной проекцией сечения на плоскость (на плоскость, в которой это основание лежит). Поэтому площади сечения Sc и основания S связаны так
Sc*cos(Ф) = S; Ф - заданный в задаче угол в 45°.
Осталось найти площадь основания, что совсем просто
S = a*b*sin(A); где А - угол между сторонами основания. Он тоже задан - 30°.
Собираем все, и получаем
Sc = 4*5*(1/2)/(корень(2)/2) = 10*корень(2)

В прямой призме ABCA1B1C1 AC=13 AB=14 BC=15 AA1=10. Точки М и Н – середины ребер АА1 и ВВ1 соответственно.
  1. Найдите площадь полной поверхность призмы
  2. Найдите площадь сечения призмы плоскостью MHC 3)Найдите угол между плоскостями MHC и ABC 4) Найдите угол между прямой АА1 и плоскость MHC 5)Разложите вектор МК по векторам АА1, АС и АВ, если К-середина СН 6)Постройте линию пересечения плоскостей МНС и АВС

1.S=abc=10*14*15=2100
2.     Sсеч. =Sпрям-ка=MD*MH=ab.
     MD=(5 в квадрате+15 в квадрате)-все это из под корня (теорема Пифагора)=корень квадратный из 250.
      Sсеч. =Sпрям-ка=корень квадратный из 250*14=14квадратный корень из 250
3. Угол между плоскостями=угол BCH=по теореме косинуса.
4. Угол этот будет равен-180-90-(получившегося углу из 3 задания)

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 ребро АА1=15, а диагональ BD1 = 17. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки А, А1, С.

Построение:
1) Соединим точки А и А1, так как они лежат в одной плоскости.
2) Соединим точки А и С, так как они лежат в одной плоскости.
3) Так как основания призмы параллельны друг другу, а плоскость (в данном случае сечения) пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым, то проведем А1С1||АС.
4) Соединим точки С1 и С, так как они лежат в одной плоскости.
5) Получим искомое сечение АА1С1С.
Решение:
\( S_{AA_1C_1C}=AA_1\cdot AC=AA_1\cdot BD \\\ BD_1^2=BD^2+DD_1^2=BD^2+AA_1^2 \\\ BD= \sqrt{BD_1^2-AA_1^2} \\\ S_{AA_1C_1C}=AA_1\sqrt{BD_1^2-AA_1^2} \\\ S_{AA_1C_1C}=15\cdot \sqrt{17^2-15^2} =120 \)
Ответ: 120

В прямой призме ABCA1B1C1 угол ABC=90°, угол CAB =60°, AB=2 см, AA1= 2 корень из 3.
1) Найдите площадь полной поверхности прямой призмы
2) Найдите площадь сечения призмы плоскостью A1BC
3) Найдите угол между плоскостями A1BC и ABC
4) Найдите угол между прямой CC1 и плоскостью A1BC.
5) Докажите, что плоскость A1BC перпендикулярна плоскости AA1B1

В ΔАВС: АС=2*2=4(см)(гипотенуза=удвоенному катету, лежащему напротив
 угла 30°)
ВС²=АС²-АВ²  ⇒ВС=√4²-2²=2√3(см).
Sосн=1/2*АВ*СВ=1/2*2*2√3=2√3(см²).
Sбок=Р*Н=(2+4+2√3)*2√3=12√3+12=12(√3 +1)(см²).
1)  Sполн=2Sосн+Sбок=2*2√3+12(√3 +1)=4√3+12√3+12=16√3+12(см²).
2)   ПлоскостьА1ВВ-тр-к, уголА1ВС=90°(теорема о трех перпендикулярах)
SΔ=1/2А1В*ВС;  из ΔА1АВ найдем ВС: ВС²=АА1²+АВ²;
ВС=√(2√3)²+2²=√12+4=√16=4(см).
SΔА1ВС=1/2*4*2√3=4√3(см²).
3) Двугранный угол между плоскостями А1ВС и АВС лежит в плоскости, перпендикулярной ВС. (плоскость АА1В1В)  это угол А1ВА = α
tgα=2√3/2=√3  ⇒ α = 60°.
4) СС1 параллельна ВВ1. Угол между прямой и плоскостью ищем в плоскости АА1ВВ1, перпендикулярной плоскости А1ВС. Это угол А1ВВ1.
Угол А1ВВ1 = 90-α = 90-60 = 30°.
5) АВ1 лежит в плоскости, перпендикулярной А1ВС (по теореме о трех перпендикулярах), значит, и плоскость перпендикулярна А1ВС.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 AB=2 см, AA1=1 см.
1) Найдите площадь полной поверхности призмы.
2) Найдите площадь сечения призмы плоскостью ACB1.
3) Найдите угол, который составляет прямая AB1 с плоскостью ABC.
4) Найдите угол между плоскостями AB1C и ABC.
5) Найдите длину вектора AA1-AC+2B1B-C1C
6) Докажите, что прямая A1C1 параллельна плоскости ACB1.

1) В основании правильной треугольной призмы лежит правильный треугольник со стороной АВ = 2. По свойствам правильного треугольника Sосн. = √3⋅АВ^2/ 4
Таких оснований у нас 2.
Сторона  призмы это прямоугольник со сторонами АВ = 2 и АА1 = 1
S бок = АВ * АА1, Таких сторон у нас 3.
Получаем Sполное = 2*Sосн. + 3* Sбок. = 2 * √3⋅АВ^2/ 4 + 3 АВ *АА1 = 2√3⋅2^2/4 + 3 *2*1 =  2√3 +6 = 9,46 см2
2) треугольник АСВ1 равнобедренный Основание АС =2 см, Надо найти ВН - высота, в равнобедренной треугольнике она является медианой и биссектрисой
Из прямоугольника СС1ВВ1 найдем СВ1 
СВ = 2 см, ВВ1 = 1 см
СВ1^2 = CB^2+BB1^2
CB1^2 = 2^2 +1^2 = 5
CB1 =  корень из 5
Треугольник НВ1С прямоугольный, В1Н^2  = CB1^2 - HC^2
HC = AC /2 = 2/2 = 1см
B1H^2 = (корень из 5)^2 - 1^2 = 5-1 = 4
B1H = 2 cм
S = B1H*AC /2 
S = 2 *2 /2 = 2 cm^2 
 3) рассмотрим треугольник АВВ1 - он прямоугольный т.к. Призма правильная
надо найти угол ВАВ1
 tg BAB1 = BB1/ AB = 1/2
примерно 27°
4) т.к. Прямая АВ1 принадлежит плоскости АВ1С,  значит этот угол  есть то, что мы искали в п. 3
дальше подумаю.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 AB=2 см, AA1=1 см.
1) Найдите площадь полной поверхности призмы.
площадь основания S1 =AB*AB*sin(pi/3)*1/2 = корень(3)
боковая площадь S2 =AB*AA1*3 = 2*1*3=6
площадь полной поверхности призмы S3 = 2*S1+S2 = 2*корень(3) + 6
2) Найдите площадь сечения призмы плоскостью ACB1.
площадь основания S1 = AB*AB*sin(pi/3)*1/2 = корень(3)
высота треугольника основания h =AB*sin(pi/3)=корень(3)
высота треугольника сечения h1 = корень(h^2+AA1^2)=2
площадь сечения призмы плоскостью ACB1 S4 = S1*h1/h = корень(3) * 2/корень(3) = 2
3) Найдите угол, который составляет прямая AB1 с плоскостью ABC.
тангенс угла = BB1/AB=1/2
угол = арктангенс(0,5)
4) Найдите угол между плоскостями AB1C и ABC.
высота треугольника основания h =AB*sin(pi/3)=корень(3)
тангенс угла = BB1/h=1/корень(3)
угол = арктангенс(1/корень(3)) = pi/6 = 30°
5) Найдите длину вектора AA1-AC+2B1B-C1C
AA1-AC+2B1B-C1C=CА+B1B+СC1=CА+A1A+AA1=CA
ответ - 2 см
6) Докажите, что прямая A1C1 параллельна плоскости ACB1.
прямая  A1C1 параллельна прямой АС, лежащей вплоскости ACB1, значит параллельна плоскости ACB1

Ребра AB=BC=BB1 треугольной призмы ABCA1B1C1 попарно перпендикулярны, и равны 4 корня из 2 (4\( \sqrt{2} \)). Найдите площадь сечения призмы плоскостью, походящей через середины ребер AB, AA1, BC

В сечении образуется равнобокая трапеция.
Обозначим середины сторон АВ и ВС точками К и М.
Отрезок КМ параллелен  (как средняя линия треугольника) гипотенузе АС и равен её половине.
АС = АВ*√2 = 4√2 * √2 = 8.
КМ = (1/2)*8 = 4.
Боковые грани призмы пересекаются по отрезкам ДК и ЕМ.
Так как КМ параллелен АС, то линия пересечения заданной плоскостью грани АА₁С₁С линия ДЕ параллельна АС.
Боковая сторона полученной трапеции равна:
((4√2)/2) * √2 = 4.
Высота трапеции равна √(4²-((8-4)/2)²) = √(16-4) = √12=
=2√3.
Площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины ребер AB, AA1; BC, имеющего форму трапеции, равна 2√3 * ((8+4)/2) = 12√3.

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, сторона основания которой равна 6. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону AB под углом 30° к основанию.

Пусть середина A1C1 = K  сечения=AB, вторая=AKиз точки K должна пойти прямая || AB => || и A1B1, т.е. Получим отрезок KD (D лежит на B1C1), KD || A1B1 и проходит через середину A1C1 => KD - средняя линия треугольника A1B1C1KD = 1/2 * A1B1 = 1/2 * AB = 1/2 * 6 = 3и четвертая сторона сечения BD получился четырехугольник AKDB, в кот. AB||DK => AKDB - трапеция. S трапеции = 1/2 * (BA+DK) * KF (KF - высота трапеции)из треуг. AA1K по т. Пифагора AK = корень(AA1^2 + A1K^2) = корень(4*4 + 3*3) = корень(16+9) = корень(25) = 5 (AA1 = 4 - боковое ребро, A1K = 1/2 * A1C1 = 1/2 * 6 = 3)AK - боковая сторона трапеции (сечения), трапеция равносторонняя => в треугольнике AFK FA = (AB-DK)/2 = (6-3)/2 = 3/2 => высота трапеции из прямоугольного треуг. AFK по т. Пифагора FK = корень(AK^2 - FA^2) = корень(5*5 - 9/4) = корень(25 - 9/4) = корень(91/4) = корень(91)/2S = 1/2 * (6 + 3) * корень(91)/2 = 9*корень(91)/4Надеюсь, нигде не ошиблась. Равносторонняя => в треугольнике AFK FA = (AB-DK)/2 = (6-3)/2 = 3/2 => высота трапеции из прямоугольного треуг. AFK по т. Пифагора FK = корень(AK^2 - FA^2) = корень(5*5 - 9/4) = корень(25 - 9/4) = корень(91/4) = корень(91)/2S = 1/2 * (6 + 3) * корень(91)/2 = 9*корень(91)/4

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 ребро AA1 = 8, а диагональ BD1 = 17. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки A, A1 и C.

Плоскость сечения будет проходить через вершины А, А1, С и С1 т.к. АА1||СС1 и АС||А1С1. 
В правильной четырёхугольной призме диагонали ВД1 и АС1 равны. Поскольку в основании квадрат, то АС=ВД; все боковые рёбра призмы равны, значит в прямоугольных треугольниках АСС1 и ВДД1 катеты равны, следовательно равны и гипотенузы АС1 и ВД1.
В тр-ке АСС1 АС²=АС1²-СС1²=17²-8²=225,
АС=15.
АСС1А1 - прямоугольник, площадь которого: 
S=АС·АА1=15·8=120 (ед²)

В правильной шестиугольной призме A B C D E F A1 B1 C1 D1 E1 F1 Стороны основания равны 5 А боковые ребра равны 11 Найдите площадь сечения призмы плоскостью проходящей через вершины C, A1 F1

В сечении - шестиугольник, две стороны "а" которого F1А1 и ДС являются рёбрами призмы длиной по 5.
4 остальные стороны - следы сечения боковых граней призмы.
Они равны √(5²+(11/2)²) = √(25+30,25) = √55,25.
Высота шестиугольника равна √(АС²+СС1²) = √((2acos30°)²+11²) =
= √((2*5*(√3/2))² + 121) = √(75+121) = √196 = 14.
Площадь шестиугольника S равна сумме площадей прямоугольника S1 и двух треугольников, площадь S2 которых можно найти по формуле Герона.
S1 = 5*14 = 70.
S2 = 2√(p(p-a)(p-b)(p-c), где р - полупериметр, равный (а+в+с)/2 =
= (14+2*√55,25)/2 = 7+√55,25 ≈  14,43303.
Тогда S2 =  2*17,5 = 35.
Ответ: S = 70 + 35 = 105.

В правильной четырехугольной призме MNPQM1N1P1Q1, сторона основания равна 11, а боковое ребро 15. На рёбрах M1Q1,M1N1 и PQ взяты точки X,Y,Z, соответственно так, что Q1X=N1Y=QZ=5. Найдите площадь сечения призмы плоскостью XYZ

В сечении получим шестиугольник с попарно параллельными сторонами, имеющий симметрию относительно диагональной плоскости призмы.
Верхнее и нижнее основания его равны (11-5)*√2 = 6√2.
Высота L его лежит в диагональной плоскости призмы и равна:
L = √(15²+(5√2)²) = √(225+50) = √275 = 5√11.
Площадь можно разделить на прямоугольник и 2 равных равнобедренных треугольника.
S = (6√2)*(5√11)+2*(1/2)*(2,5√2)*(5√11) = 42,5√22 ≈  199,3427 кв. ед.