Даны векторы p и q, для которых известно, что |p|=1, |q|=3, угол(p,q)=arccos(-2/3). Рассматриваются векторы a=3p-q и b=xp+2q. Известно, что угол(a,b)=arccos(\(\frac{-11\sqrt{3030}}{606}\))
Найдите:
а) x;
б) ПР_{2b-a}(2a-b)
Решение:В дальнейшем пригодится скалярное произведение p"q" = |p"|*|q"|*cosa = 1*3*(-2/3) = - 2.
Пригодится и иллюстрация: p" и q" образуют тупой угол, cos которого равен (-2/3). Достроив до параллелограмма, соседний ( острый) угол имеет cos, равный 2/3. Теперь из геометрических соображений можно посчитать модули векторов a" и b".
Используя теорему косинусов: (для модулей)
a^2 = (3p)^2 + q^2 + 2*3p*q*2/3 = 9 + 9 + 12 = 30, |a| = кор30.
b^2 = (xp)^2 + (2q)^2 - 2*xp*2q*2/3 = x^2 - 8x + 36. |b| = кор(x^2 - 8x + 36)
Теперь мы подготовлены, чтобы составить скалярное произведение векторов a" и b".
a"b" = (3p-q)(xp+2q) = 3xp^2 - 2q^2 + qp(6-x) = 3x - 18 -2(6-x) = 5x - 30. (1)
С другой стороны:
a"b" = |a"|*|b"|*cos(arccos((-11кор3030)/606))=
= ( кор30)*кор(x^2 - 8x + 36)*(-11кор3030)/606) (2)
Приравняв (1) и (2), получим:
(х-6)/(кор(x^2-8x+36)) = (-11) / (кор101). Видим, что х < 6
Перемножаем по диагонали пропорцию, возводим в квадрат и приводим подобные члены:
5x^2 + 61x + 180 = 0, D = 121
x1 = (-61+11)/10 = -5,
x2 = (-61-11)/10 = -7,2
Ответ: -7,2; -5.
б) Наверное надо вычислить скалярное произведение: (хотя может и нет)
(2b-a)(2a-b) = - 2b^2 - 2a^2 + 5 ab
Воспользуемся итогами предыдущего пункта:
a^2 = 30
b^2 = x^2 - 8x + 36 = 101 (при х = -5)
ab = (a"b") = 5x-30 = -55
Тогда получим:
(2b-a)(2a-b) =- 202 - 60 - 275 = -537
Из пункта а) этой задачи мы имели:
х = -5, |a|=кор30, |b| = кор101, ab = -55
Искомая проекция равна:
|2b-a|*cosф (косинус угла между векторами (2b-a) и (2a-b) )
|2b-a| = кор(4b^2 -4*(-55) + a^2) = кор654
|2a-b| = кор(4a^2 -4(-55) +b^2) = 21
cosф= [(2b-a)(2a-b)] / (|2b-a|*|2a-b|) = (5(-55)-2*30-2*101) /(21кор654) =
= - 537/(21кор654) (примерно равно 1 - вектора почти коллинеарны, но противоположно направлены)
Искомая проекция :
- 537/21