№1. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла разделила катет на отрезки 15


Главная Научный калькулятор
Меню Алгебра Геометрия Основные понятия Аксиомы планиметрии Углы Перпендикулярные и параллельные прямые Перпендикуляр и наклонная Круг (окружность) Треугольник Четырехугольник Параллелограмм Трапеция Многоугольники Основные понятия стереометрии Аксиомы стереометрии Прямые в пространстве Пересекающиеся прямые Параллельные прямые Скрещивающиеся прямые Прямая и плоскость в пространстве Перпендикулярность прямой и плоскости Параллельность прямой и плоскости Угол между прямой и плоскостью Теорема о трех перпендикулярах Формула двойного проектирования Плоскости в пространстве Пересекающиеся плоскости Параллельность плоскостей Перпендикулярность плоскостей Площадь проекции плоской фигуры на плоскость Многогранники: Пирамида Призма Тела вращения: Цилиндр Конус Шар (Сфера) Объем тел вращения Задачи по геометрии Примеры решений Вспомогательные материалы: Таблицы Брадиса Исследование функций Асимптоты. Первая производная. Вторая производная. Тригонометрия Тригонометрические неравенства Преобразования графиков	Треугольник : Равнобедренный треугольник : Прямоугольный треугольник : Четырехугольник : Параллелограмм : Ромб : Прямоугольник : Трапеция : Многоугольники : Круг и окружность : Прямые и плоскости : Пирамида : Пространственная система координат : Цилиндр : Конус : Углы : Призма : Параллелепипед : Сфера и Шар №1. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла разделила катет на отрезки 15 и 12. Найдите площадь треугольника. №2. Точка M лежит внутри равностороннего треугольника на расстоянии 3√3 от двух его сторон и на расстоянии 4√3 от третьей стороны. Найдите длину сторон данного треугольника. №3. Стороны треугольника относятся, как 13:14:15, а высота, проведенная к большой стороне, равна 33,6. Найдите большую сторону. №4. В треугольнике ABC сторона AC равна 21, высота BH равна 12, синус угла A равен 0.6. Найдите длину отрезка CH. №5. Площадь остроугольного треугольника равна 10√3, а две его стороны равны 5 и 8. Найдите третью сторону. Решение: 1) Биссектриса делит сторону, к которой проведена, на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Приняв гипотенузу треугольника за 15 * Х, а второй катет за 12 * Х, по теореме Пифагора получаем (15 * Х)² = (12 * Х)² + 27² 225 * Х² = 144 * Х² + 729 81 * Х² = 729 , откуда Х² = 9 , а Х = 3 см. Тогда второй катет равен 12 * 3 = 36 см, а площадь треугольника 27 * 36 / 2 = 486 см² 2) Точка М лежит на расстоянии 6 * √ 3 от вершины (катет, противолежащий углу 30°, вдвое меньше гипотенузы). Тогда высота треугольника равна 4 * √ 3 + 6 * √ 3 = 10 * √ 3 см, а сторона треугольника 10 * √ 3 / sin 60° = 20 см. 3) Примем стороны треугольника за 13 * Х, 14 * Х и 15 * Х см. Вычислим его площадь по формуле Герона S = √ (p * (p - a) * (p - b) * (p - c)) . где p = (a + b + c)/2 В данном случае р = (13 * Х + 14 * Х + 15 * Х) / 2 = 21 * X. Тогда S = √ (21 * X * 8 * X * 7 * X * 6 * X) = 84 * X² , а высота, проведенная к большей стороне h = 2 * S / c = 2 * 84 * X² / (15 * X) = 11,2 * X = 33,6 , откуда Х = 3 см., а большая сторона 3 * 15 = 45 см. 4) АН = ВН * ctg A = BH * √ (1 - sin²A) / sin A = 12 * 0,8 / 0,6 = 16 см, а СН = АС - АН = 21 - 16 = 5 см. 5) S = a * b * sinα / 2 В данном случае 5 * 8 * sin α / 2 = 20 * sin α = 10 * √ 3, откуда sin α = √ 3 / 2 Далее воспользуемся теоремой косинусов. с² = a² + b² - 2 * a * b * cos α теперь возможны 2 варианта: cos α = 1 / 2 и cos α = -1 / 2 Для первого варианта с² = 5² + 8² - 2 * 5 * 8 * 1/2 = 25 + 64 - 40 = 49 и с = 7 см. Для второго варианта с² = 5² + 8² - 2 * 5 * 8 * (-1/2) = 25 + 64 + 40 = 129 и с = √ 129 ≈ 11,36 см.