Главная       Научный калькулятор

Задача №117

Доказать, что сумма квадратов всех медиан треугольника составляет 3/4 от суммы квадратов его сторон
рисунок к задаче 117 №1
Для начала найдем длину медианы треугольника, например проведенной из вершины С. Обозначим длины сторон, лежащих против вершин А,В и С, соответственно a, b, c.
Пусть СМ - медиана треугольника АВС. Обозначим СМ=m, СМА=α, тогда СМВ=180о - α
Из треугольников АСМ и СМВ по теореме косинусов будем иметь:
вычисления
Складывая почленно два этих равенства и учитывая, что cos(180о - α)=-cosα, получаем:
вычисления
Теперь сделаем следующие обозначения:
рисунок к задаче 117 №2
Запишем полученное выражение для каждой медианы:
вычисления