Задача №123

Образующая конуса равна a, а угол при вершине осевого сечения равен α (альфа). Найдите объём конуса и его боковую поверхность.

Проведем осевое сечение. Известно, что любое осевое сечение прямого кругового конуса есть равнобедренный треугольник. Поэтому высота ВО будет также и биссектриссой угла АВС, т.е. ∠ОВА=∠ОВС=α/2
Найдем ОС - радиус основания и высоту конуса ВО из прямоугольного треугольника ОВС:
ВО=BC*cosα/2=a*cosα/2
ОС=BC*sinα/2=a*sinα/2
Найдем площадь боковой поверхности:
S_бок=πrl=πa²*sinα/2
Найдем площадь основания:
S=πr²=π(a*sinα/2)²
Найдем объем пирамиды:
V=1/3Sh=1/3π(a*sinα/2)²a*cosα/2