Главная       Научный калькулятор



Задача №190



Основанием прямой призмы является равнобедренный прямоугольный треугольник. Большая боковая грань-квадрат со стороной 6 корней из 2 см.
а) найдите площадь полной поверхности этой призмы;
б) постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через катет нижнего основания и середину противолежащего бокового ребра;
в) вычислите площадь этого сечения;
г) найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью нижнего основания;
д) постройте линию пересечения секущей плоскости верхнего основания.
рисунок к задаче 190 а) Призма прямая, т.е. её боковые ребра перпендикулярны основаниям. Боковые грани являются прямоугольниками. Площадь прямоугольника равна произведению длин смежных сторон, следовательно, площадь той грани больше, ребра которой больше. Боковые ребра параллелепипеда равны, а в основании самуую большую длину имеет гипотенуза, поэтому большая грань - ABB1A1.
И раз эта грань - квадрат, то все её стороны по 6 корней из 2, в том числе и гипотенуза основания. Пусть АС=ВС=х, из теоремы Пифагора найдем катеты основания и его площадь:
площадь основания
Теперь найдем площади боковых граней, а затем и площадь полной поверхности
нашли полную поверхность

б) Соединим середину BB1 точку М с точками А и С. Плоскость АМС и будет искомая.
в) По теореме о трех перпендикулярах МС перпендикулярна АС (МС-наклонная, ВС-проекция). Поэтому треугольник АМС прямоугольный.
Из прямоугольного треугольника МВС найдем МС по теореме Пифагора:
нашли площадь сечения

г) Угол МСВ является линейным углом двугранного угла между плоскостями АВС и МАС (по определению). Именно его нам нужно определить. Из прямоугольного треугольника МВС найдем косинус этого угла:
нашли угол

д) В плоскости СВВ1С1 продолжим С1В1 в сторону точки В1. Также МС продолжим в сторону точки М до пересечения с С1В1. Точку пересечения обозначим за О.
нашли прямую
Эта точка принадлежит плоскости А1В1С1, т.к. лежит на прямой В1С1, принадлежащей этой плоскости. Также точка О принадлежит плоскости МАС, т.к. лежит на прямой МС, принадлеащей этой плоскости. Значит, она лежит на прямой пересечения этих плоскостей.
Известно, что линии пересечения двух параллельных плоскостей (оснований призмы) третей плоскостью (МАС) параллельны. Через точку О проведем прямую параллельно прямой АС. Это и будет искомая прямая.