Главная       Научный калькулятор

Задача №211

Дан треугольник АВС. АВ = 8, ВС = 4, АС = 6. Найти площадь треугольника АВС, а также радиус вписанной, радиус описанной окружностей, высоту, проведённую из угла В, медиану и биссектрису, проведённые также из угла В.
рисунок к задаче 211 Для нахождения площади применим формулу площади через половину произведения высоты и стороны:
высота и площадь
Найдем медиану. Обозначим длины сторон, лежащих против вершин А,В и С, соответственно a, b, c.
Пусть BM - медиана треугольника АВС. Обозначим BМ=m, BМА=α, тогда СМВ=180о - α
Из треугольников АBМ и СМВ по теореме косинусов будем иметь:
вычисления
Складывая почленно два этих равенства и учитывая, что cos(180° - α)=-cosα, получаем:
нашли медиану
Найдем биссектрису ВК. Обозначим BК=l, АВК=β. Учитывая, что биссектриса делит угол пополам: СВК=АВК=β, а АВС = СВК+АВК=2β. Воспользуемся таким свойством: биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам (доказательство):
части АС
Применим в треугольниках АВК и СВК теорему косинусов:
выразили биссектрису
Используя теорему косинусов в треугольнике АВС, найдем cosβ:
нашли биссектрису