Главная       Научный калькулятор

Задача №23

Основание пирамиды - ромб, каждая боковая грань образует с плоскостью основания угол, равный 60°. Найдите площадь основания пирамиды, если высота пирамиды 9 см, а один из углов ромба 45°.
рисунок к задаче 23
Построим двугранный угол между боковой гранью и основанием. Для этого в треугольнике АМВ проведем высоту МК. Теперь соединим точку К с точкой О (основанием высоты пирамиды). По теореме о трех перпендикулярах отрезок ОК перпендикулярен АВ. А угол МКО является линейным углом двугранного угла меджу основанием и боковой гранью и равен 60°.

Из треугольника МКО:
ОК=МОсtgМКО=3O3

Из треугольника АКО:
АК=КОсtgОАК=3O3 * сtgОАК

Известно, что диагонали ромба являются биссектрисами его углов и точкой пересечения делятся пополам (доказательство). Поэтому
ОАК=DАВ=45°/2=22,5°

Из треугольника АВО:
Знаем, что сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов
АВО=90°-ОАК=90°-22,5°=67,5°

Из треугольника ОКВ:
ВОК=90°-АВО=90°-67,5°=22,5°
КВ=КОtgВОК=3O3 * tgВОК

АВ=АК+КВ=ОК(сtgОАК+tgВОК)
Применим формулу тангенса половинного угла а затем связь тангенса и котангенса одинакового аргумента:
ответ