Главная       Научный калькулятор

Задача №74

В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит равнобедренная трапеция с основаниями BC и AD, причем AB=3см, AD=5см. Диагональ призмы B1D образует с плоскостью основания угол 45 градусов, а плоскости AA1B1 и B1BD перпендикулярны. Найдите объем призмы!
рисунок к задаче 74 №1
1.
а) Рассмотрим основание АВСD: В следствии того, что плоскости AA1B1 и B1BD перпендикулярны, получаем угол АBD равен 90 градусов. То есть треугольник АВD - прямоугольный. В нем нам известны катет и гипотенуза. Найдем второй катет:

б) Теперь в треугольнике АВD проведем высоту ВН. Прямоугольные треугольники АВН и АВD подобны по острому углу (подробнее о подобии треугольников). Запишем равные соотношения и получим неизвестные величины:

Так как трапеция равнобедренная, её основание ВС можно определить следующим образом:
ВС = AD - 2АН = 5 - 18/5 = 7/5
в) По известным основаниям и высоте определим площадь трапеции:


2.
а) Рассмотрим прямоугольный треугольник BDB1: в нем угол BDB1 равен 45 градусов как угол между диагональю B1D и плоскостью основания АВСD.
Теорема. Если один из острых углов прямоугольного треугольника равен 45 градусов, то его катеты равны (этот пр. треугольник - равнобедренный).
Значит, В1В = ВD = 4. Заметим, что В1В является высотой призмы.
б) По имеющимся площади основания и высоте определяем объем: