|
Главная
Научный калькулятор
|
|
Теорема 1. Теорема о
трех перпендикулярах. Если прямая, проведенная на плоскости через основание
наклонной, перпендикулярна её проекции, то
она перпендикулярна и наклонной.
Доказательство.
Пусть АВ – перпендикуляр к плоскости a, АС – наклонная и с -прямая в плоскости a, проходящая через основание наклонной СK. Проведем прямую
СК, параллельно прямой АВ. Прямая СК перпендикулярна плоскости
a (по тореме 2, так как она параллельна АВ), а значит и любой прямой этой
плоскости, следовательно,
СК перпендикулярна прямой с.
Проведем
через параллельные прямые АВ и СК плоскость b
(параллельные прямые определяют
плоскость,
причем только одну). Прямая с перпендикулярна двум прямым лежащим в плоскости b, это ВС по условию и СК по построению, значит она
перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит
перпендикулярна и прямой АС. Другими словами наклонная АС перпендикулярна прямой с,
лежащей в плоскости a.
Теорема 2. Обратная теореме о трех перпендикулярах. Если прямая, проведенная на
плоскости через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.
Доказательство.
Пусть АВ – перпендикуляр к плоскости a, АС – наклонная и с – прямая в плоскости a, проходящая через основание
наклонной С. Проведем прямую СК, параллельно прямой АВ. Прямая СК перпендикулярна плоскости a (по тореме 2, так как она параллельна АВ), а
значит и любой прямой этой плоскости, следовательно,
СК перпендикулярна прямой с. Проведем через параллельные
прямые АВ и СК плоскость b
(параллельные прямые определяют
плоскость,
причем только одну). Прямая с перпендикулярна двум прямым лежащим
в плоскости b, это АС по
условию и СК по построению,
значит она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит перпендикулярна и прямой ВС. Другими словами проекция ВС
перпендикулярна прямой с, лежащей в
плоскости a.
|