Перпендикулярность прямой и плоскости

Определение. Прямая пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.
Доказательство. Пусть а – прямая перпендикулярная прямым b и с, принадлежащим плоскости a. А – точка пересечения прямых. В плоскости a через точку А проведем прямую d, не совпадающую с прямыми b и с. Теперь в плоскости a проведем прямую k, пересекающую прямые d и с и не проходящую через точку А. Точки пересечения соответственно D, В и С. Отложим на прямой а в разные стороны от точки А равные отрезки АА₁ и АА₂. Треугольник А₁СА₂ равнобедренный, т.к. высота АС является так же и медианой (признак 1), т.е. А₁С=СА₂. Подобно в треугольнике А₁ВА₂ равны стороны А₁В и ВА₂. Следолвательно, треугольники А₁ВС и А₂ВС равны по третьему признаку Поэтому равны углы А₁ВD и А₂ВD. Значит, равны и треугольники А₁ВD и А₂ВD по первому признаку. Поэтому А₁D и А₂D. Отсюда треугольник А₁DА₂ равнобедренный по определению. В равнобедренном треугольнике А₁DА₂  DА – медиана (по построению), а значит и высота, то есть угол А₁АD прямой, а значит прямая а перпендикулярна прямой d. Таким образом можно доказать, что прямая а перпендикулярна любой прямой проходящей через точку А и принадлежащей плоскости a. Из определения следует, что прямая а перпендикулярна плоскости a.

Построение прямой перпендикулярной данной плоскости из точки, взятой вне этой плоскости.
Пусть a - плоскость, А – точка, из которой надо опустить перпендикуляр. В плоскости проведем некоторую прямую а. Через точку А и прямую а проведем плоскость b (прямая и точка определяют плоскость, причем только одну). В плоскости b из точки А опустим на прямую а перпендикуляр АВ. Из точки В в плоскости a восстановим перпендикуляр и обозначим прямую, на которой лежит этот перпендикуляр за с. Через отрезок АВ и прямую с проведем плоскость g (две пересекающиеся прямые определяют плоскость, причем только одну). В плоскости g из точки А опустим на прямую с перпендикуляр АС. Докажем, что отрезок АС – перпендикуляр к плоскости b. Доказательство. Прямая а перпендикулярна прямым с и АВ (по построению), а значит она перпендикулярна и самой плоскости g, в которой лежат эти две пересекающиеся прямые (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). А раз она перпендикулярна этой плоскости, то она перпендикулярна и любой прямой в этой плоскости, значит прямая а перпендикулярна АС. Прямая АС перпендикулярна двум прямым, лежащим в плоскости α: с (по построению) и а (по доказанному), значит она перпендикулярна плоскости α (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости)

Теорема 1. Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.
Доказательство. Пусть а и b - перпендикулярные прямые, а₁ и b₁ - параллельные им пересекающиеся прямые. Докажем, что прямые а₁ и b₁ перпендикулярны.
Если прямые а, b, а₁ и b₁ лежат в одной плоскости, то они обладают указанным в теореме свойством, как это известно из планиметрии.
Допустим теперь, что наши прямые не лежат в одной плоскости. Тогда прямые а и b лежат в некоторой плоскости α, а прямые а₁ и b₁ - в некоторой плоскости β. По признаку параллельности плоскостей плоскости α и β параллельны. Пусть С - точка пересечения прямых а и b, а С₁ - пересечения прямых а₁ и b₁. Проведем в плоскости параллельных прямых а и а₁ прямую, параллельную прямой СС₁. Она пересечет прямые а и а₁ в точках А и А₁. В плоскости параллельных прямых b и b₁ прямую, параллельную прямой СС₁. Она пересечет прямые b и b₁ в точках B и B₁.
Четырехугольники САА₁С₁ и СВВ₁С₁ - параллелограммы, так как у них противолежащие стороны параллельны. Четырехугольник АВВ₁А₁ также параллелограмм. У него стороны АА₁ и ВВ₁ параллельны, потому что каждая из них параллельна прямой СС₁.Таким образом четырехугольник лежит в плоскости, проходящей через параллельные прямые АА₁ и ВВ₁. А она пересекает параллельные плоскости α и β по параллельным прямые АВ и А₁В₁.
Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то АВ=А₁В₁, АС=А₁С₁, ВС=В₁С₁. По третьему признаку равенства треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны. Итак, угол А₁С₁В₁, равный углу АСВ, прямой, т.е. прямые а₁ и b₁ перпендикулярны. Ч.т.д.

Свойства перпендикулярных прямой и плоскости.
Теорема 2. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Доказательство. Пусть а₁ и а₂ - две параллельные прямые и α - плоскость, перпендикулярна прямой а₁. Докажем, что эта плоскость перпендикулярна и прямой а₂.
Проведем через точку А₂ пересечения прямой а₂ с плоскостью α произвольную прямую с₂ в плоскости α. Проведем в плоскости α через точку А₁ пересечения прямой а₁ с плоскостью α прямую с₁, параллельную прямой с₂. Так как прямая а₁ перпендикулярна плоскости α, то прямые а₁ и с₁ перпендикулярны. А по теореме 1 параллельные им пересекающиеся прямые а₂ и с₂ тоже перпендикулярны. Таким образом, прямая а₂ перпендикулярна любой прямой с₂ в плоскости α. А это значит, что прямая а₂ перпендикулярна плоскости α. Теорема доказана.

Теорема 3. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны между собой.
Имеем плоскость α и две перпендикулярные ей прямые а и b. Докажем, что а || b.
Через точки пересечения прямыми плоскости проведем прямую с. По признаку получаем а ^ c и b ^ c. Через прямые а и b проведем плоскость (две параллельные прямые определяют плоскость и притом только одну). В этой плоскости мы имеем два параллельные прямые а и b и секущую с. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180^о, то прямые параллельны. У нас как раз такой случай - два прямых угла. Поэтому а || b.