Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Последовательность (а_n), у которой а₁=а и для любого n где а и q любые отличные от нуля заданные числа, называется геометрической прогрессией. Число q называется знаменателем геометрической прогрессии.
Если а>0 и q>1, то геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если же а>0 и 0<q<1, то геометрическая прогрессия убывающая. Очевидно, что при а<0, наоборот, геометрическая прогрессия убывающая, если q>1, и возрастающая, если 0<q<1. При q<0 каждый член прогрессии имеет знак, противоположный знаку последующего члена, она не будет монотонной. Формула для n-го члена геометрической прогрессии имеет вид Докажем её методом математической индукции. Формула (2), очевидно, верна при n=1. Предположим, что она верна и при n=k+1, т.е. a_k=aq^k-1. Из (1) следует a_k+1=aq^k. Подставляя сюда выражения для k-го члена, получаем a_k+1=aq^k, то есть формула (2) справедлива при n=k+1. Из принципа математической индукции следует, что формула (2) верна для любого натурального n.
Геометрическая прогрессия, содержащая конечное число членов, называется конечной геометрической прогрессией.

Свойства геометрической прогрессии

- I. Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению соседних членов, т.е. при k≥2 Если все члены геометрической прогрессии положительны, то это свойство формулируется так: Каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому его соседних членов, т.е. при k≥2 - II. У конечной геометрической прогрессии а₁; а₂;...;а_n произведение членов, равноотстоящих от её концов, равна произведению крайних членов, т.е. для k=1, 2,..., n - III. Если знаменатель геометрической прогрессии q не равен единице и S_n=a₁+a₂+...+a_n, то Доказательство свойств 1 и 2 аналогичны доказательствам соответствующих свойств арифметической прогрессии. Докажем свойство 3. Пусть S_n=a₁+a₂+...+a_n. Используя формулу (2), можно записать тогда Вычитая почленно из равенства (6) равенство (7), получим откуда при q не равном единице следует формула (5).