Квадратные уравнения

Квадратные уравнения

Уравнение вида ax²+bx+c=0, где a, b, c - действительные числа, причем a≠0, называют квадратным уравнением. Если a = 1 , то квадратное уравнение называют приведенным; если a≠1, - то неприведенным. Числа a, b, c носят следующие названия a - первый коэффициент, b - второй коэффициент, c - свободный член. Корни уравнения ax²+bx+c=0 находят по формуле: Выражение D = b²- 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения.
Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней;
если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень;
если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня.
В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.

Неполные квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении ax2+bx+c=0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения - проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.
Пример 1 (с=0): решить уравнение 2x² - 8x = 0.
Имеем x(2x - 8) = 0. Значит либо x = 0, либо 2x - 8 = 0, далее 2х=8, то есть x = 4. Итак, уравнение имеет два корня: 0 и 4
Пример 2 (b=0): решить уравнение 4x² - 64 = 0.
Имеем 4x² = 64, далее х² = 16, следовательно корни данного уравнения: 4 и -4.

Теорема Виета

Если приведенное квадратное уравнение x²+px+q=0 имеет действительные корни, то их сумма равна -p, а произведение равно q, то есть
x₁ + x₂ = -p ,
x₁*x₂ = q
Иначе говоря, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Биквадратные уравнения

Биквадратным называется уравнение вида ax⁴+bx²+c=0, где a≠0. Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив x² = y, прийдем к квадратному уравнению ay²+by+c=0.
Пример: Решить уравнение x⁴+10x²-11=0. Положив x2 = t, получим квадратное уравнение t2+10t-11=0, откуда находим t₁= -11, t₂=1. Теперь задача сводится к решению уравнений x²= -7, x²=3. Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим ..., которые являются корнями заданного биквадратного уравнения.