Множества

В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов. При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг от друга и от предметов, не входящих в эту совокупность. Например, можно говорить о множестве всех книг в данной библиотеке, множестве всех вершин данного многоуглоника, множестве всех точек данной прямой. Книги в данной библиотеке, вершины данного многоуглоника, точки данной прямой являются элементами соответствующих множеств.

Числовые множества

В алгебре чаще всего приходится иметь дело с множествами, элементами которых являются числа. Такие множества называются числовыми. Для некоторых часто встречающихся числовых множеств в школьном курсе математики приняты стандартные обозначение: N - множество натуральных чисел, Z - множество целых чисел, Q - множество рациональных чисел, R - множество действительных чисел. Действительные числа обозначаются точками координатной прямой. Координатная прямая - это всякая прямая, на которой выбраны направления, принимаемое за положительное, точка - начало отсчеты и единица измерения - масштабный отрезок, длина которого принимается равной единице.

Подмножество

Если любой элемент множества А принадлежит также множеству В, то множество А называют подмножеством множества В. Это записывается так: А⊂В или В⊃А. В этом случае говорят, что множество А содержится в множестве В или множество В содержит множество А. Если в множестве А найдется хотябы один элемент, не принадлежащий множеству В, то А не является подмножеством множества В: А⊄В. Из определения подмножества следует, что любое множество является подмножеством самого себя, т.е. справедливо утверждение А⊂А. Полагают также, что пустое множество является подмножеством любого множества.
Пересечение множеств. Множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству А, и множеству В, называется пересечением множества А и В и обозначается А∩В. Для отрезка [-1;1] и интервала ]0;3[ пересечением, т.е. множеством, состоящим из общих элементов, является промежуток ]0;1]. Если множетсва А и В не имеют общих элементов, то говорят, что эти множества не пересекаются или что их пересечение - пустое множество, и пишут А∩В=∅. Пересечение любого множества А с пустым множетсвом есть, очевидно, пустое множество А∩∅=∅.

Объединение множеств

Множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих или множеству А или множеству В, называется объединением множеств А и В обозначается AUB. Объединение и пересечение множеств обладают некоторыми свойствами суммы и произведения чисел:
1. AUB=BUA,
2. A∩B=B∩A,
3. (AUB)UC=AU(BUC),
4. (A∩B)∩C=A∩(B∩C),
5. (AUB)∩C=(A∩C)U(B∩C)
Для конечного множества А через m(A) обозначим число его элементов. Число элементов пустого множества, очевидно, равно нулю. Для любых конечных множеств А и В справедливо равенство:
m(AUB)=m(A)+m(B)-m(A∩B)
Действительно, пусть множества А и В не пересекаются, т.е. m(A∩B)=0. Их объединение получается добавлением элементов одного множества всех элементов другого множества, поэтому:
m(AUB)=m(A)+m(B)
Если же пересечение множетв А и В не пусто, то число их общих элементов равно m(A∩B). Объединение этих множеств образуется добавлением к элементам множества А все тех элементов множетсва В, которые не входят в А. Число таких элементов равно m(B)-m(A∩B). Таким образом,
m(AUB)=m(A)+m(B)-m(A∩B)

Дополнение

Часто ограничиваются рассмотрением всевозможных подмножеств одного и того же множества, которое в этом случае называют основным или универсальным множеством. Обозначим основное множество буквой Е. Для любого множества А, принадлежащего основному множетву Е, справедливы равенства:
1. AUЕ=Е
2. A∩Е=А.
Множество элементов основного множетсва Е, не принадлежащих множеству А, называется дополнением множества А до множества Е или просто дополнением и обозначается А. Объединение множества а и его дополнения А есть основное множество: AUА=E. Пересечение множества со своим дополнением пусто: A∩А=∅. Дополнение пустого множетсва есть основаное множество, а дополнение основного множества пусто. Для любых подмножеств А и В основного множества Е справедливы равенства:
1. AUB=A∩B
2. A∩B=AUB

Разность множеств

Разностью двух множеств А и В называют такое множество, в которое входят все элементы из множества А, не принадлежащие множеству В. Разность множеств А и В обозначают А\В. В случае, когда В есть подмножество множества А, разность А\В называют дополнением множества В в множестве А и обозначают С_АВ