Пирамида и шар

Определение 14. Пирамида называется описанной около шара (сферы), если все её грани касаются поверхности шара - сферы.
Определение 15. Пирамида называется вписанной в шар (сферу), если все её вершины лежат на повержности шара - сфере.
Теорема 9. Центр вписанной в пирамиду сферы лежит на пересечении биссекторных плоскостей внутренних двугранных углов пирамиды.
Теорема 10. Центр описанной около пирамиды сферы лежит на пересечении плоскостей, проходящих через середины ребер пирамиды и перпендикулярных им.
Откуда
Теорема 11. Для того, чтобы около пирамиды можно было описать шар (сферу), необходимо и достаточно, чтобы плоскости, проходящие через середины ребер пирамиды перпендикулярно им, пересекались в одной точке.
Теорема 12. Для того, чтобы в пирамиду можно было вписать шар (сферу), необходимо и достаточно, чтобы биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекались в одной точке.
Теорема 12.1. В любой тетраэдр (треугольную пирамиду) можно вписать шар (сферу).
Теорема 12.2. В любую правильную пирамиду можно вписать шар (сферу).

Пирамида и конус
Определение 16. Пирамида называется описанной около конуса, если основанием этой пирамиды является многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса.
Определение 17. Пирамида называется вписанной в конус, если основанием этой пирамиды является многоугольник, вписанный в основание конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса.
Теорема 13. Для того, чтобы около пирамиды можно было описать конус, необходимо и достаточно, чтобы около основания пирамиды можно было описать окружность.
Теорема 13.1. Около любого тетраэдра можно описать конус.
Теорема 13.2. Около любой правильной пирамиды можно описать конус.
Теорема 14. Для того, чтобы в пирамиду можно было вписать конус, необходимо и достаточно, чтобы в основание пирамиды можно было вписать окружность.
Теорема 14.1. В любой тетраэдр можно вписать конус.
Теорема 14.2. В любую правильную пирамиду можно вписать конус.