Разложение многочлена на множители.

Многочлен можно иногда представить в виде произведения двух или нескольких многочленов. Это возможно далеко не всегда, и в тех случаях, когда это возможно, найти требуемое разложение часто очень трудно. Практическое значение такого разложения состоит прежде всего в том, что оно часто позволяет упростить вид выражения (например, в том случае, когда в числителе и знаменателе дроби можно выделить одинаковые множители. Ниже перечислены простейшие случаи, когда разложение на множители выполняется.

1. Если все члены многочлена содержат в качестве множителя одно и то же выражение, его можно вынести за скобки.

Пример 1. 7a²xy - 14a⁵x³ = 7a²x(y - 2a³x²).
Пример 2. 6x²y³ — 2uxy² + 4u²xy = 2xy (3xy² - uy + 2u²).

2. Иногда оказывается возможным, разбив члены на несколько групп, вынести в каждой некоторый множитель за скобки, после чего внутри всех скобок окажется одно и то же выражение. Тогда это выражение в свою очередь вынесется за скобки, и многочлен будет разложен на множители.

Пример 1. ax + bx + ay + by = x(a + b)+ y(a + b) = (a + b)(x + y).
Пример 2. 10a³ -6b³ + 4ab² - 15a²b = 5a²(2a - 3b) + 2b²(2a - 3b) = (2a - 3b)(5a² + 2b²).
Замечание. Полезно иметь в виду, что выражение a — b можно всегда представить в виде —(b — a), так что на первый взгляд различные множители можно легко сделать одинаковыми.

Пример 3. 6ax - 2bx + 9by - 27ay = 2x(3a - b) + 9y(b - 3a) = 2x(3a - b) - 9y(3a - b) = (3a - b)(2x - 9y).

3. Преобразование, объясненное в п. 2, иногда удается осуществить после предварительного введения новых (взаимно уничтожающихся) членов или разложения одного из членов на два слагаемых.

Пример 1. a² - x² = a² + ax — ax — x² = a(a + x) - x(a + x) = (a + x)(a - x).
Пример 2. p² + pq - 2q² = p² + 2pq - pq — 2q² = p(p + 2q) - q(p + 2q) = (p + 2q)(p - q)

4. От применения последнего приема иногда можно избавить себя, пользуясь несколькими готовыми формулами разложения, получаемыми обращением формул сокращенного умножения, именно:

a² + 2ab + b² = (a + b)²;
a² - 2ab + b² = (a - b)²;
a² - b² = (a + b)(a - b) и т.д.

Пример. 4x² + 20xy + 25y² = (2x + 5y)².