Задача №133

В пространстве через вершину С ромба ABCD проведена прямая MC, перпендикулярная сторонам ромба BC и CD. О - точка пересечения диагоналей ромба. Докажите, что BD перпендикулярно плоскости MOC и что плоскости MBD и MOC перпендикулярны.

Здесь нужно вспомнить свойство перпендикулярности прямой и плоскости: прямая тогда перпендикулярна плоскости, когда она перпендикулярна хотя бы двум прямым этой плоскости. И, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой этой плоскости.
Пользуясь этим свойством можно сказать, что прямая МС перпендикулярна плоскости ромба АВСD, а в частности перпендикулярна прямой BD или наоборот BD перпендикулярно МС.
Вспомним свойство диагоналей ромба: диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, диагонали ромба перпендикулярны между собой. Поэтому BD перпендикулярно АС, а значит перпендикулярно ОС. Таким образом, прямая BD перпендикулярна двум прямым МС и ОС плоскости МОС, т.е. перпендикулярна и самой плоскости.
Вспомним свойство перпендикулярности плоскостей: если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны между собой. А мы доказали, что прямая BD перпендикулярна плоскости МОС, значит, плоскость MBD, содержащая прямую BD перпендикулярна плоскости МОС.