Задача №162

Площадь оснавания пирамиды 1210 квадратных дм. Площадь параллельного сечения 490 квадратных дм, а расстояние между ними 12 дм. Определить высоту пирамиды.
Т.к. в условии задачи нет уточнения, какая пирамида, значит, это не важно. Возьмем, например, треугольную пирамиду.
Проведем высоту ЕН. ЕН перпендикулярна плоскости МКТ (если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой). ОН=12.
Рассмотрим треугольник СЕВ. КТ параллельна СВ (линии сечения плоскостью двух параллельных плоскостей параллельны). Поэтому углы ЕКТ и ЕСВ равны, как соответственные, а при вершине Е у треугольников КЕТ и СЕВ общий угол. Поэтому они подобны.
КТ:СВ=ЕК:ЕС=ЕТ:ЕВ
Также докажет, что в треугольнике АЕС:
МК:АС=ЕК:ЕС=ЕМ:ЕА
и в треугольнике АЕВ:
МТ:АВ=ЕТ:ЕВ=ЕМ:ЕА, т.е. КТ:СВ=МК:АС=МТ:АВ. Значит, треугольники МКТ и АВС подобны по трем сторонам.
Площади подобных треугольников (и вообще любых фигур) относятся, как квадраты их линейных размеров. Поэтому:
S_МКТ:S_АВС=490:1210=49:121=k²
k=7/11
Треугольники АЕН и МЕО подобны, т.к. у них общий острый угол при вершине Е. Поэтому:
ЕО:ЕН=ОМ:АН=k
ЕО:(ЕО+12)=k, где k - коэффициент подобия
ЕО=k(ЕО+12)
4/11ЕО=84/11
ЕО=20
ЕН=ЕО+ОН=20+12=32