На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.

F'(xo)=tga=2/8=1/4=0,25
***Пользуемся координатами точек, отмеченных на касательной (-4;5) и (4;3)
    Строим прямоугольный треугольник с вершинами в этих точках и в точке с координатами (-4;3). Далее, катеты этого треугольника равны 2 и 8.
Теперь осталось найти тангенс угла наклона касательной к оси Ох. (см. Решение выше)

Нужно знать всего две вещи:

1) Производная - коэффициент наклона касательной к графику функции в точке

2) Коэффициент наклона прямой находится по формуле \( k=\frac{y_2-y_2}{x_2-x_1} \), если известны координаты двух ее точек - \( (x_1;y_1) \) и \( (x_2;y_2) \)

За первую точку можно принять любую из двух известных, формула от этого не изменится. Мы отчетливо видим наши две точки: \( (-4;5) \) и \( (4;3) \). Применяем формулу:

\( k=\frac{3-5}{4-(-4)}=\frac{-2}{8}=-\frac{1}{4} \)

Напоследок, если же взять другую точку первой, то

\( k=\frac{5-3}{-4-4}=\frac{2}{-8}=-\frac{1}{4} \)

Это и есть наша производная в точке \( x_0 \). Но ведь \( x_0 \) вообще лежит на горизонтальной оси, какое отношение она имеет к графику? А ответ такой: мысленно передвигая график функции (кривую) вверх-вниз, мы не изменим значения производной ни в одной точке - касательная просто сместится на столько же. Так что для краткости вместо "касательная в точке \( (x_0,f(x_0) ) \)" пишут "касательная в точке \( x_0 \)"

Найти точки пересечение графиков функций: а) у= -х+3; б) у=2х²-2 с осями координат

Чтобы найти точки пересечения функции с осями координат нужно последовательно Х и У приравнять к нулю и найти соответствующие значения У и Х.
а) у=-х+3, при х=0 у=3, точка пересечения оси У(0;3),
  при у=0 х=3, точка пересечения оси Х(3;0).

б) у=2х²-2, при х=0 у= -2, точка пересечения оси У(0;-2),
  при у=0 х=1 точка пересечения оси Х(1;0).

точки пересечение графиков функций у= -х+3 и у=2х² - 2:
2х² - 2 = - x +3
2х² + x - 5 = 0
D = 1 + 40
x1 = -(1 + √41)/4 ≈ -1,85  y = 1,85 + 3 = 4,85
x2 = (-1 + √41)/4 ≈ 1.35  y = -1,35 +3 = 1,65
точки пересечение графиков функций между собой:
(-1,85 ; 4,85) и (1.35 ; 1,65)

точки пересечение графиков функций c осями координат:
а)у= -х+3
х = 0 у = -0 + 3 = 3
х = 3 у = -3 + 3 = 0
пересечение с осью oX  точка (3;0)
пересечение с осью oY  точка (0;3)
б)у = 2х² - 2
х = 0   у = 2*0 - 2 = -2
у = 0    0 = 2х² - 2 => 2х^2 = 2 => х^2 = 1 => x = 1  и x = - 1
пересечение с осью oX  точка (1;0)
пересечение с осью oX  точка (-1;0)
пересечение с осью oY  точка (0;-2)
графики ниже

В каких четвертях координатной плоскости расположен график функции \(y=-3x^2+8x-8\)?

Если показатель степени равен 2, то график этой функции - парабола, ветви которой уходят вниз, так как знак минус перед 3х².
Вершина параболы в виде у = ах² + вх + с имеет координаты:
Хо = -в / 2а = 1,333, Уо = -Д / 4а = -2,6666,
где Д = в² - 4ас = 64-4*(-3)*(-8) = -32.
Если дискриминант отрицателен, то график не пересекает ось х.
Значит, он расположен в 3 и 4 четвертях.

Задана функция: y=0, если x<0, y=x, если 03. Определить, является ли функция непрерывной?

На каждом участке функция является непрерывной.
Нужно выяснить непрерывность сопряжений соседних участков.
Для этого нужно вычислить значения в сопрягаемой точке по формулам левого и правого участков. В случае непрерывной функции значения должны совпасть.

Сопряжение 1: \( \left \{ {{y=0, x < 0} \atop {y=x, 0 \leq x <1}} \right. \); x=0
y(0) = 0
y(0) = x = 0

Сопряжение 2: \( \left \{ {{y=x, 0 \leq x < 1} \atop {y=-x^2+4x-2, 1 \leq x < 3}} \right. \); x=1
y(1) = x = 1
y(1) = -x²+4x-2 = -1²+4*1-2 = -1+4-2 = 1

Сопряжение 3: \( \left \{ {{y=-x^2+4x-2, 1 \leq x < 3} \atop {y=4-x, x \geq 3}} \right. \); x=3
y(3) = -x²+4x-2 = -3²+4*3-2 = -9+12-2 = 1
y(3) = 4-x = 4-3 = 1

Как видно, во всех точках сопряжения левое и правое значение совпадают.
Значит, вся функция является непрерывной.

Найдите графически число точек пересечения графиков функций y=3x и y=-1

В прямолинейной системе координат строим график функции y=3x (удобней всего по точкам, ибо сдвиги здесь не особо нужны) и прямую y=-1. Получившийся чертеж наглядно доказывает: точка пересечения единственная. Ответ: 1 точка пересечения.