Составить уравнение касательной к графику функции y = -5/x-2 в точке x=1

y = f(a) + f'(a)(x – a) уравнение касательной в общем виде. Где a - это X0. 
Нам надо найти значение функции в X0, значение производной функции в X0. 
Подставим X0 в функцию y(1)=-5/-1=5. 
Найдем производную функции y’=5/(x-2)^2. Подставим в нее X0 и найдем значение производной. y'(1)=5
Подставляем все найденное в уравнение касательной y=5+5(x-1) и раскрываем скобки y=5x 

В какой точке касательная к графику заданой функции у=f(x) параллельна заданной примой у=2-х \( f(x)= \frac{x^{3}}{3} + x^{2} -x \)?
Составте уравнение касательной в полученной точке

В уравнении касательной вида у = кх + в коэффициент к, показывающий крутизну наклона к оси х, равен производной функции в данной точке.
y' = x² + 2x - 1.
Так как коэффициент к прямой 2 - х, параллельной касательной, равен -1, то, приравняв производную этому значению, определим точку касания:
 x² + 2x - 1 = -1
 x² + 2x = 0
х(х+2) = 0
Получаем 2 точки:
х₁ = 0
х₂ = -2.
Уравнения касательных находим из равенства координат:
х₁ = 0        у = 0
х₂ = -2       у = (-8/3)+4+2 = 10/3.
Первая касательная проходит через начало координат, поэтому параметр в = 0 и уравнение её у = -х
Для второй касательной определим параметр в:
10/3 = -1*(-2) + в
в =(10/3)-2 = 4/3 и уравнение имеет вид у = -х + (4/3).

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой x0.
Найдите значение производной функции f(x)в точке x0.

Так как значение производной в точке касания графика с касательной равно:

\( f'(x)=tg\alpha \)

Т.е. требуется найти угол наклона касательной с плоскостью ОХ в точке \( x_o \)

Для этого опускаем перпендикуляр на ось Ох из точки \( x_o \) и из получившего прямоугольного треугольника находим тангенс угла наклона, как отношение противолежащего катета к прилежащему, как показано на рисунке.

Запишите уравнение касательной к графику функции y = 2x^4-4x в точке x0 = 1

Касательная это прямая. Уравнение прямой это y=kx+c. Коэффициент k равен производной от функции в данной точке, к чьему графику строится касательная. Значит надо брать производную от  2x^4-4x. Берём производную: y’=8x^3-4.
В точке x0=1 значение производной равно: 8*1^3-4=4
Значит уравнение касательной будет следующим: у=4x+c. Чтобы найти c, надо узнать значение самой функции в точке x0=1. Считаем:
2*1^4-4*1 =2-4=-2
И подставляем в уравнение: -2=4*x0+c; -2=4+с; с=-4-2; с=-6.
Окончательно получаем уравнение нашей касательной y=4x-6

Найдите абсцису точки графика функции y=x^2+7x-9, в которой касательная, проведённая к этому графику, параллельна прямой y= -5x.

Т.к. касательная к графику функции параллельна прямой у=-5х, то их угловые коэффициенты равны, т.е. равны -5.
Найдем производную функции:
у’=2x+7
приравняем 2х+7 и -5:
2х+7=-5
2х=-12
х=-6 - абсцисса точки графика функции, в которой касательная параллельна прямой у=-5х