Главная       Научный калькулятор

Перпендикулярность плоскостей Определение. Две плоскости называются перпендикулярными, если линейный угол при ребре двугранного угла между этими плоскостями — прямой.
Признак перпендикулярности плоскостей. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
к доказательству Доказательство. Пусть a  и ? - две пересекающиеся плоскости, с — прямая их пересечения и а — прямая перпендикулярная плоскости ?  и лежащая в плоскости a. А — точка пересечения прямых a и с. В плоскости ? из точки А восстановим перпендикуляр, и пусть это будет прямая b. Прямая а перпендикулярна плоскости ?, а значит она перпендикулярна и любой прямой в этой плоскости, то есть прямые b и с перпендикулярны. Угол между прямыми а и Ь — линейный угол при ребре двугранного угла между плоскостями a и ? и равен он 90°, так как прямая а   перпендикулярна прямой  b  (по  доказанному).   По   определению  плоскости   a и   ? перпендикулярны.

Теорема 1. Если  из точки,  принадлежащей   одной из двух перпендикулярных плоскостей,  провести перпендикуляр к другой плоскости, то это перпендикуляр полностью лежит в первой плоскости.
к доказательству Доказательство. Пусть a и ? - перпендикулярные плоскости и с — прямая их пересечения, А — точка лежащая  в   плоскости   a и не принадлежащая прямой  с. Пусть  перпендикуляр к плоскости ? проведенный из точки А, не лежит в плоскости a, тогда точка С – основание этого перпендикуляра лежит в плоскости ? и не принадлежит прямой с. Из точки А опустим перпендикуляр АВ напрямую с. Прямая АВ перпендикулярна плоскости (использую теорему 2). Через прямую АВ и точку С проведем плоскость ? (прямая и точка определяют плоскость, причем только одну). Мы видим, что в плоскости ? из одной точки А на прямую  ВС проведено два перпендикуляра, чего быть не может, значит прямая АС совпадает с прямой АВ, а прямая АВ в свою очередь полностью лежит в плоскости a.

Теорема 2. Если в одной из двух перпендикулярных плоскостей провести перпендикуляр к их линии пересечения, то этот перпендикуляр будет перпендикулярен второй плоскости.
к доказательству Доказательство. Пусть a и ? - две перпендикулярные плоскости, с — прямая их пересечения и а — прямая перпендикулярная прямой с и лежащая в плоскости a. А — точка пересечения прямых а и с. В плоскости ? из точки А восстановим перпендикуляр, и пусть это будет прямая b. Угол между прямыми а и b — линейный угол при ребре двугранного угла между плоскостями a и ? и равен он 90°, так как плоскости a и ? перпендикулярны. Прямая а перпендикулярна прямой b (по доказанному) и прямой с по условию. Значит прямая а перпендикулярна плоскости ? (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).