Найдите биссектриссу прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 24 см и 18 см. Какие углы эта биссектрисса образует с гипотенузой (вычислите синусы и косинусы этих углов). А если катеты равны a и b?

Решение:
Расположим вершину прямого угла в начале координат, вершину А в точке (24; 0), а вершину В в точке (0; 18). Уравнение прямой АВ X / 24 + Y / 18 = 1  или  3 * X + 4 * Y = 72 Биссектриса ОЕ образует с координатными осями углы по 45°, поэтому его уравнение  Y = X. Координаты точки Е находим из системы линейных уравнений 3 * Х + 4 * Y = 72                      X = 72 / 7 X - Y = 0               ,  откуда      Y = 72 / 7 Следовательно ОЕ = 72/7 * √ 2 ≈ 14,55 см. sin OEA = sin (45°+ OAB) = sin 45° * cos OAB + cos 45° * sin OAB . sin OAB = 18 / 30 = 0,6       cos OAB = 24 / 30 = 0,8 Таким образом  sin OEA = 1,4 / √ 2 = 0,7 * √ 2 Итак  ОЕВ = π- arcsin(0,7 * √ 2)     OEA = arcsin(0,7 * √ 2)
Пусть катеты треугольника равны a и b (a > b). Тогда уравнение прямой АВ X/a + Y/b = 1  или  b * X + a * Y = a * b Координаты точки Е находим из системы линейных уравнений b * X + a * Y = a * b                     X = a * b / (a + b) X - Y = 0                  , откуда      Y = a * b / (a + b) Таким образом   ОЕ = a * b * √ 2 / (a + b) sin OEA = sin (45°+ OAB) = (cos OAB + sin OAB) / √ 2. Поскольку  sin OAB = b / √(a² + b²)   cos OAB = a / √(a² + b²) , то sin OEA = (a + b) / √(2 * (a² + b²)) .  Таким образом ОЕВ = π - arcsin(a + b) / √(2 * (a² + b²))   OEA = arcsin(a + b) / √(2 * (a² + b²))