В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания которой равны 2, а боковые рёбра 1, точка D лежит на середине прямой CC1, найдите угол между плоскостью ABC и плоскостью ADB1.
Решите двумя способами: стандартным и с помощью метода координат в пространстве.

Решение:

Надо построить прямую пересечения АВ1D и АВС. В плоскости грани ВВ1С1С продлим прямые ВС (за точку С) и В1D (за точку D) до пересечения - пусть это точка Е. Очевидно, что точка Е принадлежит плоскости АВС. И очевидно, что раз D - середина СС1, то треугольники В1С1D и DCE равны (по стороне и 2 углам). Поэтому DE = B1D, и СЕ = В1С1 = ВС = 2.

Прямая АЕ содержит 2 точки ( А и Е), принадлежащие плоскостям АВС и B1АD, поэтому АЕ - ребро двугранного угла между этими плоскостями. Чтобы вычислить линейный угол двугранного угла, заметими, что угол АСЕ - внешний угол треугольника АВС, поэтому он равен 120 градусам. Получается, что треугольник АСЕ - равнобедренный с боковыми сторонами АС = СЕ = 2 и углом при вершине 120 градусов.  

Если через точки D, C и середину АЕ (пусть это точка М) провести плоскость, то СМ перпендикулярна АЕ и DC перпендикулярна АЕ (DC препендикулярна вообще всей плоскости АВС, в том числе и лежащей в ней прямой АЕ). Поэтому плоскость DCM перпендикулярна АЕ, и угол DMC и есть искомый угол. Обозначим его Ф.

При этом СМ - высота к основанию в равнобедренном треугольнике АСЕ. Угол при основании (например, угол САЕ) равен 30 градусов, поэтому СМ = АС/2 = 1;

DC = CC1/2 = 1/2;

tg(Ф) = DC/CM = 1/2;

Координатным тоже можно. Разместим начало координат в точке А. Ось X пустим II BC, ось Y перпендикулярно ВС. Ось Z это АА1. Тогда уравнение плоскости АВС z = 0, и координаты нормального вектора n = (0, 0, 1).

Найдем координаты точек В1 и D. Напомню, что сторона основания равна 2, то есть высота равна корень(3).

Координаты точки С, очевидно, (1, корень(3), 0), точки В (-1, корень(3), 0)

Поэтому B1 (-1, корень(3), 1), D (1, корень(3), 1/2);

Напомню, что точка А (0, 0, 0); составим уравнение плоскости, проходящей через А, В1, D.

Запишем определитель

Ix          y            z   I

I-1  корень(3)     1   I

I1   корень(3)    1/2 I

Или, в обычном виде, 

x*(корень(3)*(1/2) - корень(3)*1) - y*((-1)*(1/2) - 1*1) + z*((-1)*корень(3) - 1*корень(3)) = 0;

(корень(3)/2)*x - (3/2)*y + 2*корень(3)*z = 0;

РАзделим на корень(3)/2, получим

x - y*корень(3) + 4*z = 0; (если есть сомнения, непосредственной проверкой убеждаемся, что точки B1 (-1, корень(3), 1), D (1, корень(3), 1/2) принадлежат этой плоскости)

Нормальный вектор p = (1, корень(3), 4)

Найдем его модуль. IpI^2 = 1 + 3 + 16 = 20;  IpI = 2*корень(5);

Угол между плоскостями равен углу между нормальными векторами, то есть

cos(Ф) = np/IpI = 4/(2*корень(5)) = 2*корень(5)/5.