Около правильного тетраэдра описан шар радиуса 3корня из 3. Найдите объём тетраэдра.

Решение:

cм. Чертеж.  

М - центр АВС. О - центр описанного шара. Обозначим АО = ОЕ = R, OM = x.

При этом АЕ = а - сторона тетраэдра, АМ = a/√3 - радиус окружности, описанной вокруг АВС (или - просто - расстояние от центра АВС до вершины, я так думаю, нет смысла тратить место и время на объяснения "как это вычислить". Высота грани a*√3/2, а AM = 2/3 от этой высоты).

ЕМ = √(АЕ^2 - AM^2) = a*√(2/3); - высота тетраэдра.

OM = ЕМ - ОЕ = ЕМ - R = a*√(2/3) - R;

ОM = √(АО^2 - AM^2) = √(R^2 - a^2/3);

Получаем

a*√(2/3) - R = √(R^2 - a^/3); возводим в квадрат, приводим подобные, получаем

a = R*2*√(2/3); по условию R = 3*√3; => a = 6*√2;

Сторона тетраэдра а, высота а*√(2/3), площадь грани a^2*√3/4, объем

V = (a^2*√3/4)*(а*√(2/3))/3 = a^3*√2/12; подставляем значение

V = (6*√2)^3*√2/12 = 72;