Сторона правильного пятиугольника ABCDE равна 2. Диагонали AD и DE пересекаются в точке О. Найти АО

Решение:

Диагональ, скорее всего, ВЕ, так как DE - сторона.

Для наглядности я проведу ВСЕ диагонали пятиугольника. Получилась звезда. Из правильности пятиугольника сразу следует, что все стороны этой звезды равны между собой (при повороте пятиугольника на угол 360/5, 2*360/5 и так далее звезда совпадает сама с собой, поэтому и равны все её стороны*). АО - одна из сторон этой звезды. Обозначим её длину х.

Обозначим М - точку пересечения AD и ЕС (напомню еще раз: О - точка пересечения AD и ЕВ, а не ED, как НЕ ВЕРНО сказано в условии).

Рассмотрим треугольник ЕАМ. В нем ЕМ = ЕО = АО = х. ЕО - биссектриса угла АЕМ, поскольку дуги АВ и ВС равны, а углы АЕВ и ВЕС вписанные, и опираются на них.  

Кроме того, дуга АЕ равна дуге ВС, следовательно, АВ параллельно ЕС, и - поэтому АМСВ - ромб ( параллелограмм с равными соседними сторонами).

Итак, АМ = АВ = а (по условию а = 2);

Теперь все элементарно. Из свойства биссектрисы МО/АО = МЕ/АЕ, то есть

(a - x)/x = x/a;

x^2 - a*x - a^2 = 0;

x = a*(1 + √5)/2; (отрицательное решение отброшено).

Ответ АО = 1 + √5

*Есть еще зеркальная симметрия относительно ВМ, и других таких прямых, которые проходят через вершину пятиугольника перпендикулярно противоположной стороне. Поэтому равны соседние стороны звезды.  

Замечание. Треугольник ЕАМ имеет угол при вершине 36 градусов (в радианах π/5), а углы при основании ЕМ - по 72 градуса (в радианах 2*π/5). Ясно, что x/(2*a) - это косинус угла при основании, то есть 

cos(2*π/5) = (1 + √5)/4 = sin(π/10);

Таким образом, вычислены в радикалах функции углов, кратных π/10 = 18 градусам (получить остальные не трудно из тригонометрических формул).