Дан тетраэдр DABC, точка М-середина ребра ВС, точка N -середина ребра Выразите вектор AN через вектора: a=AB, b=AC, c=AD
В параллепипеде ABCDA1B1C1D1 медианы треугольника ABD пересекаются в точке Р. Разложите вектор B1P по векторам:=B1A, b=B1C, c=B1B/

Решение:
дан тетраэдр DABC,точка М-середина ребра ВС,точка N - середина ребра DM Выразите вектор AN через вектора: a=AB, b=AC, c=AD.
точка N - середина ребра DM, поэтому вектор DN=1/2*вектор DM точка М-середина ребра ВС, поєтому вектор DM=1/2*(вектор DB+ вектор DC) (остальное по правилам сложения для векторов)
вектор AN=вектор AD+вектор DN=вектор AD+1/2*вектор DM= вектор AD+1/2*1/2*(вектор DB+ вектор DC)= вектор AD+1/4*(вектор DA+вектор AB+ вектор DA+ вектор AC)= вектор AD-1/2*вектор AD+1/4вектор AB+ 1/4вектор АC= 1/2вектор AD+1/4вектор AB+ 1/4вектор АC =c/2+a/4+b/4
В параллепипеде ABCDA1B1C1D1 медианы треугольника ABD пересекаются в точке Р.Разложите вектор B1P по векторам:=B1A, b=B1C, c=B1B
Медианы треугольника пересекаются и точкой пересечения, делятся в отношении 2:1, начиная от вершины поэтому вектор B1P=2/3 вектора медианы (с вершины В) вектор медианы (с вершины В)=1/2(вектор ВА+BD) вектор B1P=2/3*1/2*(вектор ВА+BD)=1/3*(вектор ВА+BD)
вектор B1P=1/3*(вектор ВА+вектор BD)= 1/3*(вектор ВB1+вектор B1А+ вектор BA+вектор BC)= =1/3*(вектор ВB1+вектор B1А+вектор ВB1+вектор B1A+вектор BB1+вектор B1C)= =1/3*(3*вектор ВB1+2*вектор B1А+вектор B1C)= =вектор ВB1+2/3*вектор B1А+1/3*вектор вектор B1C= =c/3+2a/3+b/3