A B C три последовательние вершины правильного двенадцатиугольника со стороной 20 см. Найти длину диагонали АС

Решение:

У правильного двенадцатиугольника  все углы  по 360/12= 30 град

все стороны по 20 см

соедини точки А  и С  получим диагональ АС

а еще получим равнобедренный треугольник АВС 

где  

< В=30 град   остальные два (180-30 ) /2 = 75   < А= < С=75 град

стороны АВ=ВС=20 см

тогда по теореме косинусов

АС^2 = AB^2 + BC^2 - 2*AB*BC*cosB

AC = √(20^2+20^2 -2*20*20*cos30)= 20√(2-2*√3/2)=20√(2-√3)

Ответ 20√(2-√3)

Длина стороны правильного пятиугольника равна а. Вычислите длину диагонали пятиугольника.

У правильного пятиугольника угол при вершинах равен 108 градусам.
Используя теорему косинусов можно записать нижеследующее:
dˆ2 = aˆ2 + aˆ2 - 2*a *a *cos(108)
dˆ2 = 2* aˆ2 (1-cos(108))=2*aˆ2 (1+sin(18))
d = sqrt(2*(1+sin(18)))* a = sqrt(2*(1+0.3))*a=sqrt(2.6)*a=1.61*a
Проверка:
Известно, что отношение диагонали к стороне правильного пятиугольника равно золотому сечению (смотреть Викпедию), т.е.
d/a = (1+sqrt(5))/2 =(1+2.23)/2=3.23/2=1.61803
тогда,
d=1.61*a