Точка касания окружности вписанной в прямоугольный треугольник делит один из его катетов на отрезки 8 см и 2 см. Найдите стороны треугольника

Решение:
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, где угол А прямой. Вписанная окружность касается катета АВ в точке М, где АМ=2, МВ=8. Точка касания окружности со стороной АС точка Р, центр окружности точка О. Линии проведенные к точкам касания из цетра вписанной окружности перпендикулярны сторонам и являютс радиусами. Тогда тогда АМОР является квадратом и стороны равны 2. АМ=АР как касательные к окружности, проведенные из одной точки. Рассмотрим треугольник ВМО. у него угол М прямой, МВ и МО являются катетами. Отношение МО к МВ равно тангенсу угла МВО (tg альфа).Значит тангенс МВО=2/8=1/4. Так как центр вписанной окружности лежит на пересечением биссектрис, то ВО является биссектрисой угла АВС и равен 2МВО. Найдем тагенс АВС по формуле двойного угла. он равен 2tg альфа деленное на

 1-tg^2 альфа. Подставив значения получаем 8/15. A в треугольнике АВС катет АВ=2+8=10, tg АВС=8/15, найдем катет АС=АВ*tgАВС=10*8/15=80/15=16/3=5 1/3, а гипотенузу находим по теореме Пифагора.ВС^2=10^2+(16/3)^2=1156/9

ВС=34/3=11 1/3 Получаем АВ=10, АС=5 1/3, а ВС=11 1/3

 

Длины касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

В данном случае, если касательные, проведенные из третьей вершины, равны по Х, из теоремы Пифагора получаем уравнение

(Х + 8)² = (Х + 2)² + 10²

Х² + 16 * Х + 64 = Х² + 4 * Х + 4 + 100

12 * Х = 40

Х = 10/3

Итак, стороны треугольника  34/3 см, 16/3 см и 10 см.