Сторона правильного шестиугольника равна 12 см. Середины трех его сторон, взятых через одну, есть вершинами треугольника. Найти площадь этого треугольника.

Рассмотрим трапецию ABCD, образованную стороной шестиугольника, двумя половина сторон шестиугольника и стороной построенного треугольника (то что этот четырехугольник трапеция следует из теоремы Фалеса и условия, что стороны треугольника соединят середины шестиугольника)

AB=12 см, AD=BC=AB/2=6 см

проведем высоты BK и CN, тогда

BCNK - прямоугольник, треугольники AKB и DNC прямоугольные и равные

BC=KN=12 cм

угол АВС как внутренний угол правильного шестиугольника равен 120 градусов, отсюда

угол АВК равен 120-90=30 градусов, угол ВАК=90-30=60 градусов

Значит AK=AB*cos 60=AB/2=6/2=3 см

(или по свойству треугольника с углами 90,60, 30)

Значит сторона AD=3+12+3=18 см

Аналогично получаем что две другие стороны треугольника равны 18 см, т.е. Полученный построением треугольник правильный

Искомая площадь треугольника как площадь правильного треугольника равна

$S=\frac{18^2\sqrt{3}}{4}=81\sqrt{3}$ кв. См