1. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О. Смежные стороны параллелограмма


Главная Научный калькулятор
Меню Алгебра Геометрия Основные понятия Аксиомы планиметрии Углы Перпендикулярные и параллельные прямые Перпендикуляр и наклонная Круг (окружность) Треугольник Четырехугольник Параллелограмм Трапеция Многоугольники Основные понятия стереометрии Аксиомы стереометрии Прямые в пространстве Пересекающиеся прямые Параллельные прямые Скрещивающиеся прямые Прямая и плоскость в пространстве Перпендикулярность прямой и плоскости Параллельность прямой и плоскости Угол между прямой и плоскостью Теорема о трех перпендикулярах Формула двойного проектирования Плоскости в пространстве Пересекающиеся плоскости Параллельность плоскостей Перпендикулярность плоскостей Площадь проекции плоской фигуры на плоскость Многогранники: Пирамида Призма Тела вращения: Цилиндр Конус Шар (Сфера) Объем тел вращения Задачи по геометрии Примеры решений Вспомогательные материалы: Таблицы Брадиса Исследование функций Асимптоты. Первая производная. Вторая производная. Тригонометрия Тригонометрические неравенства Преобразования графиков	Треугольник : Равнобедренный треугольник : Прямоугольный треугольник : Четырехугольник : Параллелограмм : Ромб : Прямоугольник : Трапеция : Многоугольники : Круг и окружность : Прямые и плоскости : Пирамида : Пространственная система координат : Цилиндр : Конус : Углы : Призма : Параллелепипед : Сфера и Шар 1. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О. Смежные стороны параллелограмма равны 10 см и 15 см. Найдите разность периметров δ АОВ и δAOD. 2. В параллелограмме ABCD угол С равен 45°. Диагональ BD перпендикулярна АВ и равна 7 см. Найдите DC. 3. Диагональ АС параллелограмма ABCD равна 9 см. Найдите расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из точек А и С на прямые ВС и AD соответственно. 4. На стороне AD параллелограмма ABCD взята точка М так. Что DM=DC. а) Докажите, что СМ-биссектриса угла С параллелограмма ; б) Найдите периметр параллелограмма. Если АВ= 8,5 см, AN 1=3.5 см. Решение: 1) Диагонали параллелограма пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то есть АО=АС, ВО=ОД. Сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов смежных сторон, то есть АС2+ВД2=2(АВ2+ВС2). АС2+ВД2=2(100+225)=650, ВД=корень из (650-АС2), ВО=0,5корень из (650-АС2), АО=0,5АС. Р(АОВ)=0,5АС+0,5корень из (650-АС2)+10. Р(СОВ)=15+0,5АС+0,5корень из (650-АС2). Р(СОВ)-Р(АОВ)=5 (кроме чисел 10 и 15 два показателя равны) 2) Сумма углов равна 360 градусов. Два угла по 45 градусов дают в сумме 90 градусов. Значит 2 остальных угла равняются 270 градусов, каждый по 135 градусов (угол В и угол Д). Угол АВД+угол СВД=135, Угол АВД=90, значит угол СВД=45 градусов. В треугольнике СВД угол В = углу С = 45 градусов. Он равнобедренный. ВС=СД. За теоремой Пифагора ВС2+СД2=ВД2, 2СД2=ВД2, 2СД=49, СД2=49/2, СД=7/(корень из 2) см. 3) Пусть точка Е является продолжением стороны ВС, прямая АЕ перпендикулярна прямой ВС. Соответственно точка М пусть будет продолжением прямой АД. прямая СМ перпендикулярна прямой АД. Образовался прямоугольник АЕСМ. За теорией противоположные стороны прямоугольника равны, АЕ=СМ, СЕ=АМ. Диагонали прямоугольника равны, АС=ЕМ=9 см. 4) б)АД=АМ+ДМ, ДМ=АВ=8,5 см, АД=8,5+3,5=12 см. Р(АВСД)=2(АВ+АД)=2(12+3,5)=31 см. а)Треугольник СДМ равнобедренный, так как МД=ДС. Угол СМД=углу МСВ, так как ВС параллельна АД. Соответственно в равнобедренном треугольнике СМД углы при основании равны, то есть угол СМД=углу МСД. Вывод: угол МСВ=углу МСД, значит прямая СМ является биссектрисой угла С.