Вершины треугольника ABC лежат на окружности так, что сторона AC равна диаметру окружности. Серединный перпендикуляр к BCпересекает AC в точке О. Вычислите расстояние от точки О до AB, если известно, что AB = 6см, а угол BOC = 120градусов.

Решение:
Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров. По условию сторона АС является диаметром, а диаметр описанной окружности лежит на стороне треугольника, если эта сторона гипотенуза. Значит треугольник АВС прямоугольный и точка О является центром описанной окружности (угол В=90 градусов). Чтобы найти расстояние от О до АВ, значит надо найти перпендикуляр к стороне АВ, а в нашем случае - это серединный перпендикуляр. Обозначим точку пересечения с АВ как Е. Значит нам надо найти ОЕ. А сторона АЕ=ЕВ=6/2=3 Рассмотрим треугольник ВОС. Стороны ВО и ОС явлются радиусами данной окружности и треугольник равнобедренный, так как угол ВОС 120 градусов, то угол ОВС=ОСВ=60/2=30 градусов (сумма углов треуг. равно 180). Рассмотрим треугольник АВС. Так как ВСА равен 30 градусов, а в прямоугольном треугольникекатет, лежащий напротив угла в 30 гр. равен половине гипотенузы, значит АС=6*2=12, а ОА=ОС=6. В треугольнике АЕО сторона ОА=6 (гипотенуза), сторона АЕ=3,тогда по теореме Пифагора ОЕ^2=OA^2-AE^2=6^2-3^2=36-9=27 ОЕ=корень из 27 = 3 корень из 3