1. Стороны правильного многоугольника=8 см. Длина круга вписанного в него=6П см. Найти длину круга описанного вокруг многоугольника. 2. Сторона правильного шестиугольника = а. Найти длина его меньшей диагонали. 3. Если правильный 12-ти угольник вписано в круг радиуса R, то его сторона =.

Решение:

Радиус описанного круга - это радиус правильного многоугольника, a радиус вписанного круга - его апофема.

-
1. Стороны правильного многоугольника=8 см. Длина круга вписанного в него=6П см.
Найти длину круга описанного вокруг многоугольника.

Радиус вписанного круга находим из его длины
6п=2пr
r=3 Это апофема этого многоугольника, из чего следует, что радиус его равен 5, т.к. Прямоугольный треугольник, катеты которого равны 3 и 4 - египетский и гипотенуза его равна 5. (Хотя можно и теоремой Пифагора воспользоваться).
Радиус описанного круга равен 5, длина его окружности
2пr=2п5=10п
-
2.Сторона правильного шестиугольника = а. Найти длина его меньшей диагонали.

Длина меньшей диагонали этого шестиугольника - основание равнобедренного треугольника с углом при вершине 120 градусов, или, что одно и то же, диагональ ромба со стороной а. По формуле высоты равностороннего треугольника
d=2а(√3):2=а √3

3.Если правильный 12-ти угольник вписан в круг радиуса R, то его сторона =
R/2:sin 75
Решение:
В правильном 12-ти угольнике каждый центральный угол равен 30°.
углы при стороне равны (180-30):2 =75°
Высота треугольника, образованного радиусами 12 угольника и его стороной, проведенная из угла основания к радиусу, как противолежащая углу 30°, равна половине радиуса R и равна R/2 
Из отношения высоты к стороне ( гипотенузе) сторона 12-ти угольника равна R/2:sin 75