В прямоугольный треугольник вписана окружность. Пункт ее касания с гипотенузой делит гипотенузу на части, длинны каких ровны 6см и 4см. Найдите длину радиуса окружности.

Решение:
В треугольнике АВС,угол А=90 градусов, ВС-гипотенуза, точка касания окружности с гипотенузой Е, СЕ=6,ЕВ=4, тогда ВС=6+4=10. Точка касания с АС будет К, а со стороной АВ-точка М. Так как отрезки касательные к окружности, проведенные из одной точки равны, то СК=СЕ=6, ВЕ=ВМ=4. О-центр окружности. ОК=ОМ=х-это радиус вписан.окружности. Так как ОК перпендик.АС, ОМ перпенд.ВА, а угол А прямой, то АМОК квадрат и ОК=ОМ=АК=АМ=х. Тогда сторона АВ=х+4, а сторона АС=х+6. По теореме Пифагора (х+4)^2+(х+6)^2=10^2 х^2+8x+16+x^2+12x+36=100 2x^2+20x+52-100=0 2x^2+20x-48=0 сократим на 2 х^2+10x-24=0 Дискриминант Д=100+4*24=196, корень из Д=14 Х1=(-10+14)/2=4/2=2 Х2=(-10-14)/2=-24/2=-12 не может хбыть отрцат значением, значит х=2 Радиус вписанной окружности равен 2см