Докажите, что биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника при пересечении образуют угол 45 градусов.

Решение:
Дано: треуг АВС, Угос В=90 гр, АЕ,CD -биссектрисы

Доказать: угол DOA=уг ЕОС = 45 гр

Д-во.

1)Пусть уг DOA=х, тогда уг САЕ=х, т.к. АЕ биссектриса.

Сумма углов треуг = 180 гр, следовательно уг АСВ=180-90-2х=90-2х

CD -биссектриса угла АСВ, значит уг DСА=(90-2х):2=45-х

2)Рассмотрим треугольник ВАЕ, угол АЕВ=180-90-х=90-х

3)АЕВ и АЕC смежные, в семме 180, АЕС=180-(90-х)=90+х

4)Из треугольника ЕОС: угол ЕОС=180-(90+х)-(45-х)=45

5)ЕОС и АОD вертикальные, значит равны. 

---

Дан прямоугольный треугольный треугольник, угол В прямой (равен 90 градусов).

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов

т.е. угол САВ+уголВСА=90 градусов.

АЕ и CD -биссектриссы острых углов.

По определению биссектрисы делят угол пополам, поэтому

угол CAE=угол BAE=1/2 *угол ВАС

угол ACD=угол BCD=1/2*угол *ВСА

 

остюда угол CAE+угол ACD=1/2 *угол ВАС+1/2*угол *ВСА=

=1/2*(угол САВ+уголВСА)=1/2*90 градусов=45 градусов

 

Сумма углов треугольника равна 180 градусов, поєтому

угол AOC=180-угол-CAE - угол ACD=180-(угол CAE+угол ACD)=180-45=135 градусов

Сумма смежных углов равна 180 градусов, поэтому

угол AOD=180-135=45 градусов - это один из углов образуемых при пересечении биссектрис острых данного прямоугольного треугольника,

таким образом мы доказали требуемое утверждение. Доказано