Внешний угол правильного многоугольника составляет 1/5 внутреннего. Найти количество сторон многоугольника.

Решение:

Внешний = 180/6 = 30
Внутренний = 180-30 = 150
н*150 = 180*(x-2) 
360 = 30x 
x = 12 
ответ: 12

сумма  углов  = 360 градусов, т.к. это правильный многоугольник, то следовательно  формула : nx = 360 градусов (n - числ сторон, х - внешний угол)

х = 1/5у, у = 5х вернем к ней позже (у - внутр. Угол)

сумма внутренних углов прав. Многоугольника = (n-2)180

угол "у" = (n-2)180 / n = у

вместо у = 5х

(n-2)180 / n = 5х

вместо х = 360/n

(n-2)180 / n = 5*360/n

(n-2)180  = 5*360

180n-360 = 1800

180n = 2160

n = 2160/180

n = 12

Ответ: 12 сторон

Центральные углы двух правильных многоугольников отличаются на 20 градусов, а суммы внутренних углов на 540 градусов. Найти количество сторон каждого многоугольника.

Summa uglov = (n-2)*180

(n1-2)*180=(n2-2)*180 + 540

n1 = n2+3

Centralniy ugol = 360/n

360/(n2+3)  + 20= 360/n2

360n2 + 20*n2*(n2+3)-360*(n2+3) = 0

18n2 + n2^{2}+3n2-18n2-54=0

n2^2+3n2-54=0

D=9+ 216=225

n2= -3+15/2 = 6

n1 = 9

Найти количество сторон правильного многоугольника, у которого внутренний угол в 3 раза больше центрального.

Формула для вычисления центрального угла: 360/n, где n - кол-во сторон

формула для вычисления внутреннего угла: ((n-2)/n)*180

Составим и решим уравнение:

((n-2)/n)*180= 3*(360/n)

((n-2)/n)*180=1080/n

(n-2)/n=6/n

6n=n²-2n

n²-2n-6n=0

n²-8n=0

n(n-8)=0

n=0 или n-8=0

n=0 или n=8

0 не подходит по смыслу задачи

Ответ: 8 сторон

Центральный угол=Внутреннкму углу
360/n-центральный угол
(n-2)*180/n-внутренний угол
Составим уравнение:
(n-2)*180/n=3*360/n
Подставив все значения, получим:
180n-360=1080
180n=1440
n=8 углов
Ответ: восьмиугольник

В правильный многоугольник со стороной 8 корней из 3 вписана окружность радиуса 12 см. Найти количество сторон этого многоугольника и длину описанной около него окружности

У правильного многоугольник все стороны равны, также радиус описанной окружности равна стороне правильного многоугольника
1) \( R=a=8 \sqrt{3} \,\,\, cm \)
Количество сторон можно узнать через тангенс
\( n= \dfrac{180}{arctg( \frac{ \frac{a}{2} }{r}) } = \dfrac{180}{arctg( \frac{ \sqrt{3} }{3}) } = \dfrac{180}{ \frac{ \pi }{6} } =6 \)
Есть одно что п = 180градусов
Длина описанной окружности
\( C=2 \pi R=2 \pi \cdot6=18 \pi \)
Ответ: это шестиугольник, C=18п

В выпуклом многоугольнике 35 диагоналей. Найти количество сторон

В выпуклом n-угольнике n(n-3)/2 диагоналей.
С каждой вершины выходят отрезки, соединяющие ее с остальными n-1 вершинами, две из них стороны, остальные n-3 отрезка - диагонали.
Всего вершин n, потому количество всех диагоналей n(n-3), но так как концы отрезка принадлежат двум вершинам, то в этом произведении мы посчитали каждую диагоналей дважды, поэтому число диагоналей n(n-3)/2)
Итого, имеем для данного многоугольника
n(n-3)/2=35
n(n-3)=70
\( n^2-3n-70=0 \)
\( (n-10)(n+7)=0 \)
\( n+7=0;n_1=-7<0 \) - не подходит, количество вершин не может быть отрицательным
\( n-10=0;n_2=10;n=10 \)
итого, вершин 10
10*(10-3):2=35
в выпуклом многоугольнике число вершин = числу сторон
Ответ: 10