Доказать следствие, что окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах

Решение:

Если окружность вписана в многоугольник, то ее центр лежит на пересечении биссектрис его углов. В правильном многоугольнике углы равны. Рассматриваем треугольники с боковыми сторонами - биссектрисами углов и основанием -стороной правильного многоугольника. Эти треугольники равнобедренные, так как углы при основании равны.  Высота к основанию этих треугольников равна радиусу окружности (основание касается окружности под прямым углом). Свойство высоты равнобедренного треугольника, проведенной к основанию, что она биссектриса и медиана. Значит окружность касается сторон правильного многоугольника в их серединах