Площадь правильного треугольника, вписанного в круг меньше площади вписанного в этот же круг квадрата на 18,5. Найдите площадь вписанного в этот круг правильного шестиугольника

Решение:

радиус окружности  - R

S∆ =R^2*3√3/4

S□ = (2R/√2)^2=2R^2

S□ - S∆ = 18.5 = 2R^2 - (R^2*3√3/4) = R^2 (2 -3√3/4 )

R^2 (2 -3√3/4 ) = 18.5

R^2 = 18.5 / (2 -3√3/4 )

сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности

шестиугольник состоит из 6 равносторонних треугольника

площадь шестиугольника

S(6) = 6*1/2*R^2*sin60=3*18.5 / (2 -3√3/4 )*√3/2=6√3*18.5 / (8 -3√3)=

         = 111√3 /(8 -3√3) = 111√3 *(8+3√3) / (8-3√3) (8+3√3) =

         = 27+24√3 = 24√3+27

         = 3(9+8√3)= 3(8√3+9)

** ответы на выбор

описаная окружность, тогда образуется три равные дуги с центр углом 120 град,

тогда площадь треуг = 3*1/2*R*R*sin 120=

=\( \frac{3*R^2\sqrt{3}}{4} \)

Квадрат состоит из 4 равных треугольников, причем радиусы - половины диагоналей образуют угол 90 град, тогда

Sквадрата = \( 4*\frac{1}{2}*R^2*sin90=2R^2 \)

Sквадр - Sтреуг=18,5, подставим,  получим :

\( 2R^2 - \frac{3*R^2*\sqrt{3}}{4}=18.5\\ \\8R^2-3*R^2*\sqrt{3}=74\\ \\R^2*(8-3*\sqrt{3})=74\\ \\R^2=\frac{74}{(8-3*\sqrt{3})} \)

В описанной окружности правильного шестиугольника получается 6 равносторонних треугольника со стороной = R, тогда

Sшестиуг =\( \frac{1}{2}*R^2*\frac{\sqrt{3}}{2}*6=\\ \\=R^2*1.5*\sqrt{3} \)

Подставим значение R^2, получим :

Sшестиуг=\( \frac{74}{(8-3*\sqrt{3)}}*1.5*\sqrt{3}=\\ \\=\frac{111*\sqrt{3}}{(8-3*\sqrt{3})} \)

Ответ: \( \frac{111*\sqrt{3}}{(8-3*\sqrt{3})} \)

Домножив числитель и знаменатель на \( (8+3\sqrt{3}) \)

получим:

\( \frac{111*\sqrt{3}}{(8-3*\sqrt{3})}*\frac{(8+3\sqrt{3})}{(8+3\sqrt{3})}=\frac{888\sqrt{3}+999}{(8-3*\sqrt{3})*(8+3\sqrt{3})}=\\ \\=\frac{111*(8\sqrt{3}+9)}{64-24\sqrt{3}+24\sqrt{3}-27}=\\ \\=\frac{111*(8\sqrt{3}+9)}{37}=3(8\sqrt{3}+9) \)