1В правильной треугольной пирамиде боковое ребро l, а плоский угол при вершине - альфа "а". Найдите боковую поверхность и объем пирамиды.

Решение:
Боковая грань пирамиды - равнобедренный треугольник. Высота треугольника - l*сos(α/2), а ребро при основании 2l*sin(α/2).
Площадь боковой поверхности равна сумме площадей граней.
Площадь боковой грани равна половине произведения высоты на ребро при основании. S1 = l²*сos(α/2)sin(α/2) = l²sin(α)
Площадь основания, как правильного треугольника со стороной 2l*sin(α/2) равна: S2 = √3 /4 * (2l*sin(α/2))² = √3 l² * sin² (α/2)
Площадь боковой поверхности Sбок = 3S1 + S2 = 3l²sin(α) + √3l²sin² (α/2)

---

Объем пирамиды = V = S осн * H  / 3 ...1) найдем H: так как sina = противолежащий катет / на гипотенузу...находим H = sina*L..далее 2) площадь основания: для этого нам для начало надо найти R описанной окружности основания..т.е 2h/3..R= cosa*L=2h/3 = h = (3 cos a * L)/2..теперь по теореме Пифагора найдем a т.е сторону треугольника..a(квадрат) - а(квадрат)/4 = h(квадрат)..отсюда...a = (3 cos a *L) / корень из 3...подставляем под формулу для вычисления площади треугольника = a ((квадрат) корень из 3 )/4 ..получаем S = 3 cos(квадрат) A * L(квадрат) * корень из 3  / и все деленное  4..теперь все подставляем в формулу V для объема..отсюда...

V = 3 * Cos(квадрат) А * sin A * L (куб)* корень из 3  и все деленное на 4

---

ABC основание, S вершина, которая проектируется в центр основания, S проектируется в О.Треуг.ASO прямоуг.Найдем SO,AO

AO=3(против угла в 30 гр.). SO=3*sqrt(3)(корень квадратній из 3)

AO=AB*sqrt(3)/3

3*3=AB*sqrt(3) 

AB=3*sqrt(3) 

V=S(ABC)*SO/3

S(ABC)=AB^2*sqrt(3)/4 формула

S(ABC)= 27*sqrt(3)/4

V=  27*sqrt(3)* 3*sqrt(3)/12=81/4=20,25