Дан треугольник со сторонами 5, 12, 13. Точка О лежит на большей стороне тр-ка и является центром окружности, касающейся двух других сторон, Найдите радиус окружности.

Решение:
Достаточно заметить, что 5^2 + 12^2 = 13^2, то есть, треугольник является прямоугольным.
Тока О лежит на гипотенузе.
Вершина при прямом угле, точка О и точки касания окружности и катетов образуют квадрат (так как касательная должна быть перпендикулярна отрезку из центра окружности, проведённому к точке касания).
Сторона этого квадрата и будет радиусом окружности. Обозначим длину этой стороны за x. Расстояния от точки О до концов гипотенузы обозначим за y и z.
Тогда для двух маленьких треугольников, получившихся  при проведении радиусов к точкам касания, можно записать:
(5-x)^2 + x^2 = y^2 - по теореме Пифагора (12-x)^2 + x^2 = z^2 - по теоерме Пифагора y+z = 13 - так как y и z вместе дают гипотенузу
Решим полученную систему уравнений:
1) заменим z на y-13 и исключим 3-е уравнение: (5-x)^2 + x^2 = y^2 (12-x)^2 + x^2 = (13-y)^2
2) раскроем скобки и приведём подобные: 25 - 10x + 2x^2 = y^2 - 24x + 2x^2 = 25 - 26y + y^2
3) вычтем второе уравнение из первого и приведём подобные: 25 + 14x = 26y - 25
4) Выражаем y: 50 + 14x = 26y y = (50 + 14x)/26
5) Подставляем полученное выражение для y в уравнение 25 - 10x + 2x^2 = y^2: 25 - 10x + 2x^2 = ((50 + 14x)/26)^2 25 - 10x + 2x^2 = (50 + 14x)^2 / 676 16900 - 6760x + 1352x^2 = (50 + 14x)^2 = 2500 + 1400x + 196x^2 1156x^2 - 8160x + 14400 = 0 289x^2 - 2040x + 3600 = 0 (17x)^2 - 2*17*60x + 60^2 = 0 (17x - 60)^2 = 0 17x - 60 = 0 x = 60/17
Ответ: 60/17 

---

Это известный прямоугольный треугольник. Обозначим его АВС. АС=12 основание, угол С=90. ВС=5, гипотенуза АВ=13. Центр О  окружности по условию находится на гипотенузе и касается катетов АС и ВС. То есть АС касательная к окружности и перпендикулярна радиусу ОЕ(Е точка касания на АС). Треугольники АВС и АОЕ подобны как прямоугольные с общим острым углом А. Тогда АС/ВС=АЕ/ОЕ. Подставляем 12/5=(12-R)/R. Отсюда R=3,53.