1 Около правильно многоугольника описана окружность в него же вписана еще одна окружность. Площадь получившегося кольца равна 64π. Найти длину стороны многоугольника
2
В правильный шестиугольник вписана окружность которая в свою очередь описана около квадрата со стороной корень 12 Найти площадь шестиугольника

Решение:

1) S(кольца)=п*R^2-п*r^2=п*(R^2-r^2)=64п, отсюда R^2-r^2=64 

Рассмотрим треугольник ОАС, где О - центр обеих окружностей, АС - сторона многоугольника. т.к. Он правильный, то высота ОВ, проведенная из О к стороне АС, разделит треугольник ОАС на 2 равных треугольника АВО и ВСО.

ОС^2-ОВ^2=ВС^2, т.к. ОС=R и ОВ=r, то R^2-r^2=ВС^2. Но R^2-r^2=64, значит ВС^2=64 и ВС=8. Сторона АС=2ВС=2*8=16

2) Рассмотрим квадрат АВСД: АС^2=АВ^2+ВС^2=2АВ^2=2*(корень из 12)^2=24.

АС=корень из 24=2*кореньиз 6

Центр окружности лежит на пересечении диагоналей, Тогда r=ОА=АС/2=корень из 6

Правильный 6-угольник диагоналями делится на 6 равносторонних треугольников. Рассмотрим 1 такой треугольник ОКЛ. Из центра О опустим высоту ОМ на сторону КЛ. ОМ=r=корень из 6. КМ=1/2*ОК

ОК^2=КМ^2+ОМ^2=(1/2*ОК)^2+ОМ^2. Подставляем значение ОМ и находим, что ОК=2*корень из 2

S(шестиугольника)=6*S(треугольника)=6*1/2*ОК*ОМ=6*1/2*(2*корень из 2)*(корень из 6)=12*корень из 3