1. В правильной шестиугольник вписана окружность, которая в свою очередь описана около квадрата с стороной \( \sqrt[4]{12} \). Найти площадь шестиугольника
2. Около правильного многоугольника описана окружность, в него же вписана еще одна окружность. Площадь получившегося кольца \( 64\pi \)Найти длину стороны многоугольника

Решение:

1))) обозначим сторону 6-угольника АВ, О-центр

в треугольнике АОВ угол АОВ = 360/n = 360/6 = 60, т.е. 6-угольник разбивается на 6 правильных треугольников и S(6-угольника) = 6*S(АОВ)

S(АОВ) = АВ*(r) / 2, где высота = r вписанной окружности

осталось найти сторону 6-угольника, зная радиус вписанной окружности.

если радиус вписанной в n-угольник окружности через сторону выражается:

r = a / (2*tg(180/n)), то a = r * 2*tg(180/n)

АВ = r * 2*tg(180/6) = r * 2*tg(30) = r *2*корень(3) / 3

r = d / 2, где d -диагональ вписанного в окружность квадрата

по т. Пифагора d^2 = 2a^2, где а-сторона квадрата

d = a*корень(2)

r = d/2 = a*корень(2) / 2

S(АОВ) = АВ*r / 2 =  (r *2*корень(3) / 3) * r / 2 = r^2 * корень(3) / 3 = a^2 * корень(3) / 6

S(6-угольника) = a^2 * корень(3)

S = ( )^2 * корнеь(3) = корень(12)*корень(3) = корень(36) = 6