N диаметров делят окружность на равные дуги. Доказать что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки М внутри окружности на эти диаметры, являются вершинами правильного многоугольника

Решение:

О - центр окружности. Если построить вторую окружность - на отрезке МО, как на диаметре, то все основания [заданных в задаче] перпендикуляров будут лежать на этой окружности (надо объяснять, почему? - потому что МО - диаметр ). Кроме того, поскольку углы между [заданными в задаче] диаметрами первой окружности одинаковые, а во второй окружности это вписанные углы, то основания перпендикуляров делят вторую окружность  на равные дуги. А равным дугам, как известно, соответствуют равные хорды [второй окружности]. Поэтому основания перпендикуляров являются вершинами правильного n - угольника, где n - число диаметров первой окружности. ЧТД.

Можно было бы усложнить условие, задав в начале не n диаметров, а правильный многоугольник с ЧЕТНЫМ числом вершин, например, 2m. Тогда основания перпендикуляров, опущенные на большие диагонали, образуют правильный m-угольник.  

Сразу возникает вопрос, а что будет, если исходный правильный многоугольник имеет нечетное число сторон 2m + 1?

Ну, и еще А если точка М лежит за пределами окружности, что это меняет?