Найти число сторон выпуклого многоугольника, если из каждой вершины исходит 6 диагоналей.

Решение:

Каждая вершина может быть соединена диагоналями со всеми другими вершинами, кроме двух соседних, которые соединены с ней стороной многоугольника,  и  себя самой.
Таким образом, из одной вершины можно провести n − 3 диагонали; следовательно, вершин ( и сторон ) в многоугольнике на 3 больше, чем выходит из каждой диагоналей.  
Число сторон данного многоугольника 
d+3= 6+3=9

Чему равно число сторон выпуклого многоугольника, если число диагоналей больше числа сторон на 12?

В выпуклом n-угольнике n(n-3)/2 диагонали, так как из каждой из n вершин выходит n-3 диагонали, но каждую диагональ мы считаем дважды. Таким образом, из условия следует, что n(n-3)/2=n+12. Решим это уравнение:
n(n-3)/2=n+12
n²-3n=2n+24
n²-5n-24=0
D=25+24*4=121=11²
n=(5+11)/2=8, n=(5-11)/2=-3 - посторонний корень (n≥3 по условию)
Таким образом, n=8, в многоугольнике 8 сторон.