1)Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна 20. В ту же окружность вписан квадрат. Чему равна площадь круга, вписанного в этот квадрат?
2)Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности радиуса R.
3)Чему равен угол между двумя диагоналями, проведенными из одной вершины правильного пятиугольника

Решение:
№1. R - радиус описанной окружности, r - радиус окружности, вписанной в квадрат, а - сторона правильного шестиугольника, х - сторона квадрата, S - площадь круга. R=a=20 $$ x=\sqrt2\cdot R=20\sqrt2 $$ $$ r=\frac{x}{2}=\frac{20\sqrt2}{2}=10\sqrt2 $$ $$ S=\pi r^2=\approx 3,14\cdot(10\sqrt2)^2=3,14\cdot200=628 $$ Ответ: площадь круга, вписанного в квадрат, 628. №2. а - сторона правильного шестиугольника $$ a=\frac{2R}{\sqrt3}=\frac{2R\sqrt3}{3} $$ Ответ: сторона правильного шестиугольника $$ \frac{2R\sqrt3}{3} $$. №3. Каждый из пяти углов правильного пятиугольника равен $$ \frac{180^0(5-3)}{5}=108^0 $$. Если провести две диагонали из одного угла, то они разделят пятиугольник на три треугольника. Рассмотрим два треугольника, в которых две из сторон являются сторонами исходного пятиугольника. Эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников, кроме того, они оба равнобедренные. Величина равных углов равна $$ (180^0-108^0):2=36^0 $$. Угол между диагоналями будет равен $$ 108^0-2\cdot 36^0=36^0 $$ Ответ: угол между двумя диагоналями, проведенными из одной вершины правильного пятиугольника, равен $$ 36^0 $$.