Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке O, SO-перпендикуляр к плоскости квадрата, SO=4см. Точки K, L,M,N - середины сторон квадрата. 1. Докажите равенство углов, образуемых прямыми SK,SL,SM,SN с плоскостью квадрата. 2. Найдите эти углы, если площадь ABCD равна 6

Решение:
Докажем, что прямая SK образует с плоскостью квадрата угол SKO. Действительно, KO - проекция SK на (ABC). Аналогично, прямые SL, SM, SN образуют с плоскостью квадрата углы SLO, SMO, SNO. Теперь докажем, что эти 4 угла равны. Действительно, треугольники SKO SMO, SNO, SLO прямоугольные, и равны по двум катетам (второй катет равен расстоянию от центра квадрата до стороны). 4 угла, указанных выше, лежат в равных треугольниках против равных сторон, значит, они равны. 2.Можно найти тангенсы этих углов. Расстояние от центра квадрата до сторон (одни из катетов 4 треугольников имеет такую длину) равно половине стороны, а сторона равна sqrt(62), тогда оно равно sqrt(62)/2. Это прилежащий катет, а противолежащий равен 4. Тогда тангенс равен 4/(sqrt(62)/2)=8sqrt(62)/62=4sqrt(62)/31