В окружность вписаны квадрат и правильный треугольник. Плошадь квадрата равна Q. Найти сторону и площадь треугольника.

Решение:
Сторона квадрата: $$ a=\sqrt Q $$
Радиус описанной окружности: $$ R=\frac{a}{\sqrt2}=\frac{\sqrt Q}{\sqrt2}=\sqrt{\frac{Q}{2}} $$
Cторона треугольника: $$ x=\sqrt3\cdot R=\sqrt3\cdot {\sqrt{\frac{Q}{2}}}=\sqrt{\frac{3Q}{2}} $$
Площадь треугольника: $$ S=\frac{1}{2}a^2Sin60^0=\frac{1}{2}(\sqrt{\frac{3Q}{2}})^2\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\frac{3Q\sqrt3}{8} $$
 

Сторона квадрата равна: корQ Диагональ квадрата равна: корQ*кор2 = кор(2Q) и равна диаметру описанной окружности. Значит радиус описанной окружности: R = кор(2Q) /2 = кор(Q/2)    (1) Для прав. тр-ка центр описанной окр-ти лежит в точке пересеч. высот(медиан, биссектрис). Так как медианы в т. пересеч. делятся в отношении 2:1 считая от вершины, то радиус описанной окружности для прав. тр-ка равен 2/3 от медианы(высоты, биссектрисы). А так как высота прав. тр-ка равна (акор3)/2, то : R = (2/3)*(акор3)/2 = (акор3)/3    (2) Приравняв (1) и (2), получим: $$ a=\ \frac{\sqrt{6Q}}{2}. $$ Площадь тр-ка: S = (a^2кор3)/4 =  $$ \frac{3\sqrt{3}Q}{8}. $$