Сумма внешних углов правильного многоугольника в 3,5 раза меньше суммы его внутренних углов'. '.mb_convert_case('найдите', MB_CASE_TITLE, 'UTF-8') сторону правильного многоугольника, если его периметр равен 144см.

Решение:

Пусть сумма внешних углов равна nx, где n - число сторон многоугольника, x - градусная мера одного внешнего угла. Тогда сумма внутренних углов равна n(180-x). По условию, 3.5nx=n(180-x), тогда 3.5x=180-x, 9x=360, x=40. Сумма внешних углов равна 360, а один угол равен 40, значит, мы имеем дело с девятиугольником. Его периметр равен 144, тогда одна сторона равна 16.

---

n - количество сторон, а-сторона, тогда а*n=144. Чтобы найти а, надо узнать количество сторон мног-ка. Так как мног-к правильный, то из условия следует, если

х-внутренний угол, у - внешний, то х=3,5у. А так как внутренний и внешние углы смежные. Ю то х+у=180, 4,5у=180, у=40, значит внутренний угол х=140

формула внутреннего угла:   x=180(n-2)/n, 180(n-2)n/2=140, 9n-18=7n, 2n=18, n=9.

тогда 9а=144,  а=16

Сторона правильного шестиугольника равна 4√6. Найдите сторону правильного треугольника, равновеликого данному шестиугольнику.

Пусть есть правильный n-угольник. Его можно разбить на n равнобедренных треугольников, у которых основание а (сторона), а угол при вершине 2*pi/n;

если h - высота к основанию такого треугольника, то h/(a/2) = ctg(pi/n);

Поэтому Sn = n*(a/2)^2*ctg(pi/n);

В частности S6 = 6*(a/2)^2*ctg(pi/6); S3 = 3*(A/2)^2*ctg(pi/3); подставляем все что известно и приравниваем, имеем 

(A/2)^2 = 2*(2*√6)^2*ctg(pi/6)/ctg(pi/3);

учтем, что ctg(pi/6) = tg(pi/3) =1/ctg(pi/3)= √3; 

(A/2)^2 = 144, A = 24.

Найдите сторону правильного многоугольника, если радиус окружности, описанной около него, равен 6 корней из 2, а радиус вписанной окружности равен 6.

Рассмотрим треуг., состоящий из двух радиусов и ребра многоугольника (OAB, O - центр окр. AB - ребро многоуг. ). По теореме косинусов имеем AB^2=OA^2+OB^2-2OA*OB*cosT (T - угол при вершине O), откуда cosT=0 и T=90 0. Т. Е. На одно ребро многоуг. Опирается угол 90 0, т.е. Наш многоугольник - квадрат. Радиус вписанной в него окружности равен половине длины его ребра (4 см)